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Hey

hat wer ne Idee wie man das löst?

$$\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \frac { sin(x) }{ x }  } dx$$

mit Part. Integr. kommt man auf

$$-\frac { cos(x) }{ x } -\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

was nun? Ich denke, dass $$-\frac { cos(x) }{ x }$$ beim 0 einsetzen rausfällt aber was mach ich damit?

$$-\int _{ 0 }^{ \infty }{\frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

mfg, danke im Voraus.

Gefragt von

Erst denken, dann rechnen. Formuliere erstmal die Problematik bei diesem Integranden und dem angegebenen Integrationsintervall.

meinst du dass cos gegen unendlich <= 1 ist?

Also dann würde da so was kommen...

$$=-\int _{ 0 }^{ \infty }{\frac {1}{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

Was nun? Was ist mit den Intervallen?ich weiß grad nicht, was du genau meinst

"Untersuchen sie das uneigentliche Integral auf Konvergenz"

Frage Nr. 1: Warum ist das Integral uneigentlich?

weil ich keine 0 einsetzen kann da dann 1/0 kommt und das heißt uneigentliches integral

Das Integral ist uneigentlich, weil erstens der Integrand bei x=0 eine Singularitaet hat und zweitens das Integrationsintervall nicht beschraenkt ist.

Frage Nr. 2: Wie ist das Integral in so einem Falle definiert?

unbeschränkte Integrale?

Häh?? ......................................

wie wärs damit?

$$-\frac { cos(x) }{ x }-\int _{ 0 }^{ r }{\frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx$$

∞ = r;

$$=-\frac { cos(r) }{r }-\int _{ 0 }^{ r }{\frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx$$


geh ich jetzt in die richtige richtung?... was meist und mit wie ist das integral definiert? in welchem bereich ist das deffiniert? oder was meinst du? es ist zwischen 0 und unendlich deffiniert wobei wir bei 0 eine lücke haben und gegen unendlich können wir nicht integrieren weshalb ich jetzt unendlich mit einer variable ersetzt habe. 

aber ich weiß immernoch nciht weiter...

Achso ok ich brauch ne zwischengrenze...

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sin(x) }{ x } +\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { sin(x) }{ x }  }  } $$

$$=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sin(x) }{ x }}+(-\frac { cos(x) }{ x } -\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { cos(x) }{ { x }^{ 2 } }  } dx)$$

da cos(x) immer <= 1 ist:

der 2. Teil ist partiell integriert worden und ich habe schon die grenzen eingesetzt...

$$=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sin(x) }{ x }}+0-(-\frac { cos(1) }{ 1 } -\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  } dx)$$

Der Teil mit $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sin(x) }{ x }}$$ ist mir noch unklar... und muss ich den letzen Teil auch noch integrieren oder kann man jetzt schon was daraus schließen?



Ist ja loeblich, dass Du Dir die Antwort gleich selber formulierst, aber so kann man das unmoeglich aufschreiben. Deine Gleichheitszeichen z.B. sind allesamt fehl am Platze.

EDIT: Habe den Antwortversuch von Knightfire56 in einen Kommentar umgewandelt. So hat noch jemand eine Chance eine Antwort zu formulieren.

@Knightfire56: Versuche das Feld "das habe ich geschrieben" anzuwählen. So merkst du dann auch, wenn du eingeloggt bist, dass dir jemand geantwortet hat.

"Ist ja loeblich, dass Du Dir die Antwort gleich selber formulierst," :D die aufgabe wurde in 9 stunden gelöst... und noch ne frage.. was ist jetzt die genaue anwort? wenn ich das so hinschreibe kann ich dann einfach sagen, dass die konvergiert!? wenn ja wieso?! 

@Lu jo hab ich gemacht.. 

1 Antwort

+1 Punkt

Ich kann Dir verraten, dass das Integral konvergiert (sogar der Wert ist bekannt).

Bisher ist nur herausgekommen, dass man die beiden Integrale $$I_1=\int_0^1\frac{\sin x}{x}\,dx$$ und $$I_2=\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx$$ getrennt auf Konvergenz zu untersuchen hat. Fuer \(I_1\) ist zu pruefen, ob $$(1)\qquad\lim_{a\to0+}\int_a^1\frac{\sin x}{x}\,dx$$ existiert, und fuer \(I_2\), ob $$(2)\qquad\lim_{b\to\infty}\int_1^b\frac{\sin x}{x}\,dx$$ existiert.

Geloest hast Du die Aufgabe genau dann, wenn Du zu diesen zwei Punkten eine qualifizierte Antwort formuliert hast.

Punkt (1) geht wie bei Deiner anderen Aufgabe hier: https://www.mathelounge.de/464358/untersuchen-folgenden-uneigentlichen-integrale-konvergenz

Fuer Punkt (2) ist $$\int_1^b\frac{\sin x}{x}\,dx=-\frac{\cos x}{x}\Bigg\vert_1^b+\int_1^b\frac{\cos x}{x^2}\,dx$$ hilfreich, was Du so aehnlich (aber grob falsch notiert) schon angegeben hattest.

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