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ich soll den Real und Imaginärteil der komplexen Zahl herausfinden.

z= (1+i)83


Ich hab dazu folgende Formel Re(z) = (z + z*)/2

Also (z+ das komplex konjugierte von z) durch 2.


Im(z) = (z-z*)/2i

Ohne die Hochzahl wäre es ja leicht abzulesen.

Re(z)=1

Im(z) =1 


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x= 1 + i  hat den Betrag √(12 + 12 ) =  √2   also hat es hoch 83 genommen

den Betrag (   √2 )83 = 241,5  bzw  241* √2 .

Und der Winkel von x mit der positiven reellen Achse ist 45°.

Also hat z den Winkel 83*45° = 3735° = 135°

Hätte z den Betrag 1, wären also

Re(z1 ) =arccos(135°) =  - 0,5*√2   und    Im(z1 ) =arcsin(135°) =  0,5*√2

Das noch mal  241* √2   damit der Betrag stimmt, gibt

Re(z ) = - 0,5*√2  *  241* √2  =  - 241  und entsprechend   Im(z ) =  241   .

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 >  - 0,5*√2  *  241* √2  =  - 240       [  - 241 ] 

Danke,  korrigiere ich.  Das Rechnen mit Zahlen fällt mir manchmal schwer.

Weil aber der Betrag √2 ist, gilt:

Re(z)= -(√2 )82

Im (z)= (√2 )82


Oder?

Nee, der Einheitsvektor zu z ,  also z / |z| hat den

Re-Teil  0,5*√2

und den musst du dann mit |z| =   241* √2

malnehmen.

Wieso brauch ich den Einheitsvektor?

Meine Idee war:

Welchen Winkel bildet z mit der pos. reellen Achse ?

Und welchen  Re- und Im-Teil hat dann der entsprechende

Einheitsvektor.

Den dann mal den Betrag, gibt das Ergebnis.

Geht sicher auch anders.

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Was haben wir hier?

A: Eine Komplexe Zahl und dessen Potenz. Man geht vor indem man den Betrag von Z ausrechnet, dieser setzt sich aus a und (j)b zusammen. Man rechnet also

|Z| = sqrt(1^2+^2)=sqrt(2)

Als nächstes wird der Tanges von fi berechnet, dazu Imaginärteil dividiert durch Realteil. Anschließend überfuhrt man das in die berühmte Eulerform.

 Exkurs und BSP:

Benötigte Formeln:

$$ { z }^{ n }={ |z| }^{ n }{ e }^{ i*n*fi }={ |z| }^{ n }(cos(n*fi)+isin(n*fi)) $$ Satz von Moivre

$$ { (1+i) }^{ 8 }={ |\sqrt { 2 } | }^{ 8 }*(cos(8*\frac { pi }{ 4 } +jsin(8*\frac { pi }{ 4 } ))=16 $$

Wichtig ist einzuordnen, in welchem Quadranten, die Komplexe Zahl liegt, hier ist das einfach gleich im ersten Quadranten (45°)

Avatar von 3,1 k

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