Verschachtelten Logarithmus ableiten. f(x)=ln(Log(x)) - Log(ln(x))

Question

wie leite ich folgende Gleichung ab? Ich bitte um genau Beschreibung der Rechenschritte, da ich das Ergebnis kenne. Der Weg dahin ist mir allerdings bis jetzt nicht klar.
f(x)=ln(Log(x)) - Log(ln(x))
Vielen Dank für die Mithilfe.

EDIT: Kopie aus Kommentar (unten): "Log soll hierbei den 10er-Logarithmus darstellen."

Comments

Kannst du noch den Unterschied von ln und Log genauer definieren.

ln hat die Basis e und

Log eine beliebige Basis b oder die Basis 10?

Falls Unterschied unklar: Beachte den blauen Balken in https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln(Log(x))+-+Log(ln(x))&rawfor… dort kannst du die Basen umstellen.

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Die Ableitung lässt sich auf verschiedene Weise ausdrücken.

Einen Weg zu "deiner" Lösung kann man dir wohl nur dann aufzeigen, wenn du diese Lösung angibst.

Ein  - von der Basis des log  unabhängige Darstellung - ist zum Beispiel:

f '(x)  = (1 - LN(x)) / (x·LN(x)·(LN(LN(x)) - LN(x)))

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@Lu

Log soll hierbei den 10er-Logarithmus darstellen.

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Gut. Dann kannst du deine Antwort nun mit den beiden vorhandenen Antworten im "Antworten-Teil" unten vergleichen.

Answer 1

http://www.ableitungsrechner.net/

Gib statt Log ein: lg

Answer 2

$$y=ln(lg(x)) - lg(ln(x))\\ I:\\ y_1=ln(lg(x))\\ z=lg(x)\\ \frac{dz}{dy}=\frac{1}{x\cdot ln(10)}\\ y_1=ln(z)\\ \frac{dy_1}{dz}=\frac{1}{z}\\ ⇒y_1=\frac{dy_1}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}=\frac{1}{lg(x)}\cdot\frac{1}{x\cdot ln(10)}\\$$

$$II:\\ y_2=lg(ln(x))\\ z=ln(x)\\ \frac{dz}{dx}=\frac{1}{x}\\ y_2=lg(z)\\ \frac{dy_2}{dz}=\frac{1}{z\cdot ln(10)}\\ ⇒y_2=\frac{1}{ln(x)\cdot ln(10)}\cdot\frac{1}{x}\\$$

$$y'=y_1'-y_2'\\ y'=\frac{1}{lg(x)}\cdot\frac{1}{x\cdot ln(10)}-\frac{1}{ln(x)\cdot ln(10)}\cdot\frac{1}{x}\\ y'=\frac{1}{ln(10)}\Bigl[\frac{1}{lg(x)\cdot x}-\frac{1}{ln(x)\cdot x}\Bigr]$$