Inverse Matrix von A bestimmen: A = (1 a b | 0 1 c | 0 0 -1)

Question

Gesucht ist die Inverse Matrix von $$A = \begin{pmatrix}1 & a & b\\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$

Bitte möglichst mit Rechnung.

Answer 1

Hallo Gast fx09712,

Standardverfahren: Links steht die Matrix A, rechts die Einheitsmatrix.
Bringe A in die Treppennormalform durch elementare Zeilenumformungen. Jede Umformung, die Du bei der Matrxi A vornimmst, musst Du in der entsprechenden Zeile auch bei der rechten Einheitsmatrix vornehmen.
Ist A in Treppennormalform und ist Rg(A) = 3, dann steht rechts die inverse Matrix A^-1.

Beste Grüße
gorgar

Answer 2

links steht die Matrix, die ich in die $3\times3-$Einheitsmatrix umforme. Rechts steht die Einheitsmatrix, auf welche die Operationen von links angewendet werden.

Initialisierung:

$\left(\begin{matrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&-1\end{matrix}\right) \mid \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right)$

Letzte Zeile mal $-1$:

$$\left(\begin{matrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{matrix}\right) \mid \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}\right)$$

$1.$ Zeile minus $a$ mal die zweite Zeile:

$$\left(\begin{matrix}1&0&b-ca\\0&1&c\\0&0&1\end{matrix}\right) \mid \left(\begin{matrix}1&-a&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}\right)$$

$1.$ Zeile minus ($b-ca$) mal die dritte Zeile:

$$\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right) \mid \left(\begin{matrix}1&-a&b-ca\\0&1&c\\0&0&-1\end{matrix}\right)$$

Das Ergebnis stimmt, wie Du hier siehst: https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+%7B%7B1,a,b%7D,%7B0,1,… Du kannst es auch überprüfen, indem Du die beiden Matrizen multiplizierst. Erhältst Du die Einheitsmatrix, so ist das Ergebnis richtig.

André

Answer 3

das lässt sich relativ einfach mit dem Gauß'schen Verfahren machen. Schreibe die Matrix nochmal hin und füge rechts davon eine Einheitsmatrix hinzu.

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & a & b & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0\\ 0& 0& -1 & 0 & 0 & 1\end{array} \right)$$

Jetzt beginne mit der untersten Zeile und arbeite Dich nach oben, mit dem Ziel, dass links die Einheitsmatrix steht.

1 - multipliziere die letzte Zeile mit $-1$.

2 - multipliziere die letzte Zeile mit $c$ und ziehe das Ergebnis von der zweiten ab.

3 - multipliziere die letzte Zeile mit $b$ und die zweite mit $a$ und ziehe beides von der ersten ab.

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -a & b-ac\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & c\\ 0& 0& 1 & 0 & 0 & -1\end{array} \right)$$

und schon steht rechts die Inverse. Wenn Du diese mit der Ausgangsmatrix multipliziert, so sollte wieder die Einheitsmatrix heraus kommen.

Gruß Werner