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Jo,

die Matrix sieht so aus:

Bild Mathematik 

und mein Anfangswert lautet x(0) = (1, −1)^t

Die Eigenwerte habe ich schon berechnet λ1=1 aber den gibts glaub 2x wegen (1-λ)^2

Eingesetzt in A+λ*E kommt raus:

Bild Mathematik

ausgerechnet komm ich auf den Eigenvektor (1 0)

Den Anfangswert in die Formel eingesetzt komm ich auf:

Bild Mathematik

Also ist C1=1

und meine Lösung ist:

Bild Mathematik

So das war mein Lösungsweg und das ist falsch, denn in den Lösungen steht ganz was anderes (leider ohne Lösungsweg)

Also wie geht diese Aufgabe, ich denke ich müsste doch eigentlich alles richtig gemacht haben?

mfg. 

Gefragt von

Soll eine DGL gelöst werden? Wenn ja: Welche? 

1 Antwort

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Hi,

du hast hier einen doppelten Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit 1.

Die Matrix A ist somit nicht diagonalisierbar.

Hier sind deshalb die Hauptvektoren zu bestimmen,

siehe z.B hier:

http://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL1/anl4_d1_1011.pdf

Da das ganze nur eine 2x2 Matrix ist gibt es neben dem Eigenvektor nur einen weiteren Hauptvektor, v=(0,1)

Für die Lösung ergibt sich nach obigen Script

x(t)=c1 e^t (1,0) + c2 e^t (t*(1,0)+(0,1))

Die AWB eingesetzt ergibt dann c1=1 und c2 =-1

Beantwortet von 20 k

Die geom. Vielfachheit ist nicht gleich der Algebraischen und deswegen nicht diagonalisierbar. 

ok das ist die Regel aber was heißt das genau? ich kann doch nun nur keine Transformationsmatrix und Diagonalmatrix bilden aber was hat das mit den Eigenvektoren genau zutun? (für die Diagonalmatrix und Transformationsmatrix braucht man ja auch die Eigenvektoren, aber wieso das nun nicht funktioniert, verstehe ich nicht)


"Da das ganze nur eine 2x2 Matrix ist gibt es neben dem Eigenvektor nur einen weiteren Hauptvektor, v=(0,1)"


was heißt das genau und wie kommt man auf (0 1)?

"Die AWB eingesetzt ergibt dann c1=1 und c2 =-1"

jo habs auch raus, wenn ich deinen Eigenvektor (0 1) dazunehme.
x(t)=c1 et (1,0) + c2 et (t*(1,0)+(0,1))

die stimmt jetzt mit der Lösung überein, die ich vom Tutor habe.

Die genaue Theorie hierzu kann ich dir hier leider nicht herbeten ;), deshalb habe ich das Script verlinkt, da steht eigentlich alles wichtige hierzu auf Seite 3 und 4.

Um v=v2 zu bestimmen ist folgende Gleichung zu lösen :

$$ (A-\lambda I){ v }_{ 2 }={ v }_{ 1 } $$

wobei v1 =(1,0) der bereits gefundene Eigenvektor ist sowie λ=1 .

Dann bekommst du die  Gleichung

$$ \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} $$

welche durch $$ { v }_{ 2 }=\begin{pmatrix} x\\1\end{pmatrix}$$ gelöst wird.

Der Einfachheit halber kann man x=0 wählen.

Ok kann ich dann als Zusammenfassung des ganzen folgendes sagen:

Wenn eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, dann kann man durch 

(AλI)V2 = Vden zweiten Eigenvektor bekommen... wie ist es bei 3x3 Matrixen? kann man da genauso den 3. Eigenvektor bekommen?

Achtung! Bei den zusätzlichen Vektoren handelt es sich nicht um Eigenvektoren sondern lediglich um Hauptvektoren. Bei größeren Matrizen kann man nach der Anleitung im Script weitere Hauptvektoren finden. 

Danke dir das script ist klasse!! 


PS: kannst du eventuell noch n Blick hierauf werfen bitte?


https://www.mathelounge.de/465694/eigenvektoren-differenzialgleichungssystems-anfangswert

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