Monoton und beschränkt => konvergent

Question

ich wollt mal fragen, ob die Umkehrung, das heißt:

konvergent => monoton und beschränkt gilt.

Weil ich hab hier:

konvergent => monoton ist falsch. Ist es falsch, weil beschränkt fehlt oder was?

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

"konvergent => monoton"  ist falsch, aber nicht weil "beschränkt" fehlt.

Es gibt einfach konvergente Folgen, die nicht monoton sind:

a_n = (-1)ⁿ / n   hat  z.B. den Grenzwert 0, 

ist aber für gerade n positiv, für ungerade n negativ, also nicht monoton.

Gruß Wolfgang

Comments

Würde

konvergent => beschränkt gelten?

Ja oder?

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Ja, das würde stimmen, weil es dann  für jede ε-Umgebung des Grenzwerts nur endlich viele Folgenglieder geben kann, die nicht in dieser  ε-Umgebung liegen.

Answer 2

nein das gilt nicht,

betrachte

$$ { a }_{ n }=(-1)^n/n $$