Textaufgabe Exponential- und Logarithmusfunktion - Alter einer Fichte

Question

Das Alter einer Fichte kann man näherungsweise aus der Dicke des Stamms errechnen. Dazu wird der Durchmesser des Stamms in ca 1,30 m höhe gemessen.

Für das Alter t( in Jahre) gilt: t(d)= 20Jahre* ln(20*d/1m-d)     d... durchmesser in Meter

1) In welchem Bereich kann der Durchmesser d bei Verwendung dieser Formel liegen?

2)  Wie alt ist der Baum mit dem Durchmesser von 0,5 Meter mindestens?

3) Gib eine Formel für den Durchmesser d in Abhängigkeit vom Lebensalter t des Baums an.

Answer 1

Für das Alter t( in Jahre) gilt: t(d)= 20Jahre* ln(20*d/1m-d)     d... durchmesser in Meter

1) In welchem Bereich kann der Durchmesser d bei Verwendung dieser Formel liegen?

t ( d ) = 20 * ln ( 20 * d / ( 1 - d ) )

ausschließen
1 - d = 0  ( Division durch 0 )
d = 1

20 * d / ( 1 - d ) > 0
( 20 * d ) > 0  und ( 1 - d ) > 0
d > 0 und d < 1
Definitionsbereich
0 < d < 1

2)  Wie alt ist der Baum mit dem Durchmesser von 0,5 Meter mindestens?

t ( 0.5 ) = 20 * ln ( 20 * 0.5 / ( 1 - 0.5 ) )
t ( 0.5 ) = 59.91 Jahre

3) Gib eine Formel für den Durchmesser d in Abhängigkeit vom Lebensalter t des Baums an.

Dies ist die Umkehrfunktion

t = 20 * ln ( 20 * d / ( 1 - d ) )
Umkehrfunktion
t / 20 =  ln ( 20 * d / ( 1 - d ) )  | e hoch
e^{t/20} = 20 * d / ( 1 - d )
e^{t/20} * ( 1 - d ) = 20 * d
e^{t/20}  - e^{t/20} * d  = 20 * d
e^{t/20}  = 20 * d + e^{t/20} * d 
d * ( 20 + e^{t/20} ) = e^{t/20}
d ( t ) = e^{t/20} / ( 20 + e^{t/20} )

Probe
d ( 59.91 ) = e^{59.91/20} / ( 20 + e^{59.91/20} )
d ( 59.91 ) = 20.0 / ( 20 + 20.0 ) = 0.5 m
stimmt

Comments

Gern geschehen. Fülltext

Answer 2

Du meinst vermutlich t(d)= 20·ln(20*d/(1-d)).

Zu 1) Diese Funktion hat ihre Nullstelle bei d=1/21.und einen Pol d=1. Folglich eignet sich die Formel für Maße d mit  1/21<d<1.

Zu 2) Setze 0,5=d dann erhältst du t(0,5)≈59,9.