stetigkeit und differenzierbarkeit?

Question

wann ist eine Funktion stetig?

Wann ist eine Funktion differenzierbar?

Müssen die Funktionen bei beiden ununterbrochen sein?


danke im voraus ;)

Answer 1

Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne abzusetzen in eins zeichnen kann.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

Sie ist differenzierbar, wenn sie sich in jeder beliebig kleinen Umgebung linear nähern lässt. Sie darf dazu keine Knickstellen haben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbar

Also Knicke wären zwar stetig aber nicht differenzierbar.

Comments

Naja, das mit dem Durchzeichnen gilt aber nicht, wenn die Funktion z.B. auf $\mathbb R\setminus\{0\}$ definiert ist.

Mathematisch ausgedrückt (sprich: Für den Fragesteller uninteressant): Ist $D\subset\mathbb R$ zusammenhängend, so ist eine Funktion $f\colon D\to\mathbb R$ genau dann stetig, wenn der Graph von $f$ wegzusammenhängend ist.

Ist $D\subset\mathbb R$ jedoch nicht zusammenhängend, so ist $f\colon D\to\mathbb R$ noch nicht stetig, wenn $f$ auf jeder Zusammenhangskomponente von $D$ stetig ist. Betrachte dazu $$D=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N\right\}\,.$$ Dann sind die Zusammenhangskomponenten von $D$ gerade die Mengen $\{\tfrac1n\}$, wobei $n\in\mathbb N$. Auf denen ist jede Funktion stetig. Aber man findet leicht eine Funktion auf $D$, die nicht stetig ist.

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Schön :) Richtige Mathematik ^^

Answer 2

Hi,

eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Sie ist differenzierbar, wenn der Grenzwert

$$\lim_{x - y \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(y)}{x-y}$$

für alle x, y aus dem Definitionsbereich existiert.

Die Funktionen, die beiden, müssen ununterbrochen sein (auf dem Definitionsbereich).

MfG

Mister

Comments

PS: Ist eine Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig und ist ihr Definitionsbereich offen, besteht also nur aus offenen Zusammenhangskomponenten, so ist die Funktiog stetig.

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Wozu forderst du die Offenheit des Definitionsbereiches? Und Zusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes sind immer offen...

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Stimmt, vergiss das mit den Zusammenhangskomponenten. Die Offenheit schließt die Definition auf isolierten Punkten aus. Eine auf offenen Mengen stetige Funktion ist stetig.

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Und eine stetige Funktion auf einer (im umgebenden Raum) nicht offenen Menge muss nicht stetig sein?

Oder was meinst du mit "auf offenen Mengen stetig"?

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Nein. Die Rückrichtung lautet: Ist eine Funktion unstetig, so existiert eine nicht offene Menge, auf der sie unstetig ist.

Auf offenen Mengen stetig soll heißen, dass sie zum Beispiel auf (-2, -1) und auf (1, 2) definiert ist und dort stetig ist. Dann ist sie insgesamt stetig.

Anderes Beispiel: 1/x auf (-1, 0) vereinigt mit (0, 1) ist stetig da sie auf offenen Mengen stetig ist.

Vielleicht müsste man präzisieren: Eine Funktion, die auf jeder offenen Teilmenge ihres Definitionsbereiches stetig ist, ist stetig.

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Offene Teilmengen? Wenn also $D\subset\mathbb R$ und $f\colon D\to\mathbb R$ gegeben sind, ist die Voraussetzungen dann, dass $f$ eingeschränkt auf jedee Teilmenge von $D$ stetig ist, welche offen in $\mathbb R$ ist? Dann wäre deine Aussage falsch. Oder eingeschränkt auf jede Teilmenge von $D$, welche offen in $D$ ist? Dann wäre die Aussage trivial, denn $D$ selbst ist offen in $D$ und damit enthält die Voraussetzung bereits die Stetigkeit von $f$.

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Ja, genau und Gegenbeispiele wie dein obiges schließen sich trivialerweise aus.

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Eigentlich wollte ich ja wissen, was du mit "offenen Teilmengen ihres Definitionsbereiches" meinst. Sollen die offen in $\mathbb R$ sein? Oder offen im Definitionsbereich?

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Dann muss ich meinen ersten Kommentar nur ergänzen:

Ist eine Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig und ist ihr Definitionsbereich D ⊂ ℝ^n offen (topologisch offen im ℝ^n *), dann ist f stetig.

* also nicht zwingend zusammenhängend

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Dann sagst du folgendes aus: Stetige Funktionen sind stetig, wenn ihr Definitionsbereich offen ist.

Die Einschränkung an den Definitionsbereich kann ich da nicht ganz nachvollziehen, denn immerhin sind stetige Funktionen grundsätzlich stetig ;)

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Ich meine aber: Punktweise stetige Funktionen sind stetig, wenn ihr Definitionsbereich D, also jede Zusammenhangskomponente dessen, offen ist.

Allerdings ist eine stetige Funktion definitionsgemäß stetig, wenn sie in jedem Punkt aus D stetig ist.

Wir sind jetzt an einem Punkt, an dem dein Gegenbeispiel eine Funktion erfordert, die auf D = {0} und {1/n, n in N} in jedem Punkt stetig ist, aber nicht auf gesamt D stetig ist.

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Eine Funktion, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist, ist doch stetig. In Ana1 meist sogar direkt nach Definition. Wobei mir gerade auffällt, dass $\{0\}$ natürlich doch eine Zusammenhangskomponente der genannten Menge $D$ ist... Hatte mich davon irritieren lassen, dass $\{0\}$ nicht offen ist.

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Zuerst dachte ich ja, ich muss nach einer Voraussetzung suchen, die dein Gegenbeispiel berücksichtigt. Nach langer Diskussion hast du mich jetzt allerdings davon überzeugt, dass dein Gegenbeispiel * falsch ist :)

(* definitionsgemäß)