Nullstelle berechnen - Polynom

Question

wollte wissen ob es noch andere Wege gibt die Nullstellen zu berechnen:

Folgender Funktionstyp :
x³ +5x + 6 = y (Geratene Nullstelle: -1) ist auch die einzigste Nullstelle
Und fertig.... mhh

ist hier das Substitutionsverfahren auch möglich? Wenn ja wie?
Ansonsten Nullstelle raten und dann Polynomdivision?
Gibt es noch andere Wege solche und ähnliche Funktionen zu lösen?

z.b x³ - 4 x² + 4x + 1 = y (Geratene Nullstelle 1)
Dann Polydivision
(x³ - 4 x² + 4x + 1 ): (x-1) = x^2-3x+1

Davon die nullstellen sind: ca 2,61 und 0,38

Außer Horner Schema oder Polydivision ist mir nix bekannt. Das doofe ist halt, das man immer die erste Nullstelle raten muss. 
Danke

PS: Gebe Mathe Nachhilfe und das auch bald für Oberstufe. Wollte mal wissen ob es da noch andere Wege gibt. Hab da nix gefunden und mir fällt leider nix weiter ein.

Answer 1

Außer Horner Schema oder Polydivision ist mir nix bekannt. Das doofe ist halt, das man immer die erste Nullstelle raten muss.

Das ist wirklich doof, deswegen haben sich einige Menschen darüber bereits Gedanken gemacht und Lösungsformeln zur Berechnung der Nullstellen für Polynome bis zum 4ten Grad überlegt. Deine Beispiele sind kubische Gleichungen, da gibt es die Cardano-Formeln. Das ist allerdings kein Schulstoff mehr (man benötigt auch komplexe Zahlen).   

Answer 2

Außer Horner Schema oder Polydivision ist mir nix bekannt. 

->mir auch nicht.Diese beiden Verfahren führen zur Lösung.

Answer 3

Hi,

es gibt eigentlich mehrere Verfahren:

Polynomdivision und Horner Schema. Man kann Nullstellen jedoch auch numerisch bestimmen, dann nähert man sich einer Nullstelle immer weiter an.

Aus deinem Beitrag geht aber auch hervor, dass du noch in der schule bist. Daher seien hier bitte nur Polydiv. und Hornerschema zu betrachten. Alles andere würde den Rahmen sprengen...

Answer 4

Gibt es außer dem Horner-Schema und der Polynomdivision noch andere Wege, Nullstellen von Polynomfunktionen zu bestimmen?

Mit der hierzulande eher selten betrachteten Methode "Gruppieren und Ausklammern" lässt sich ein Polynom bisweilen durch sehr elementare Umformungen zerlegen, hier zum Beispiel so:

$$ \begin{aligned}y &= x^3 + 5x + 6 \\  &= x^3 - x + 6x + 6 \\   &= x \cdot \left(x^2-1\right) + 6 \cdot \left(x+1\right) \\   &= x \cdot \left(x-1\right) \cdot \left(x+1\right) + 6 \cdot \left(x+1\right) \\   &= \left(x \cdot \left(x-1\right) + 6 \right) \cdot \left(x+1\right) \\   &= \left(x^2 - x + 6 \right) \cdot \left(x+1\right).\end{aligned}$$Der linke Faktor ist in den reellen Zahlen nicht weiter zerlegbar.

Bei dem zweiten Beispiel ist das ein wenig komplizierter, geht aber auch. Es gibt noch weitere Möglichkeiten und auch Zerlegungsalgorithmen, die immer funktionieren. Das sprengt sicher den Rahmen der Schulmathematik, aber in dem einen oder anderen Falle haben auch (Nachhilfe-)Schüler Freude an derartigen Rechnungen. :-)

Comments

Sehr elegant!