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Kann mir bei den Aufgaben jemand weiterhelfen?

1. Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x, y gilt: ||x| - |y|| ≤ |x - y|

 

Gefragt von

 

||x| - |y|| ist ein Term und keine Bedingung.

Eine Bedingung wäre z.B. ||x| - |y|| >= 0

Habe die Aufgabe hier gefunden (Institut für Mathematik, Prof. Mohnke): http://www.math.hu-berlin.de/~frommv/classes/analysis12_13/ana3.pdf und den fehlenden Teil in der Frage ergänzt.
So macht die Frage natürlich wirklich Sinn und so lässt sie sich auch beantworten .

1 Antwort

+1 Punkt

||x| - |y|| ≤ |x - y|

√((√(x^2) - √(y^2))^2) ≤ √((x - y)^2)

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung. Das darf ich machen weil beide Seiten positiv sind und sich das Ungleichheitszeichen dadurch nicht verändert.

(√(x^2) - √(y^2))^2 ≤ (x - y)^2

Wir multiplizieren aus:

x^2 - 2·|x·y| + y^2 ≤ x^2 - 2·x·y + y^2

Wir subtrahieren überflüssige Summanden wie x^2 und y^2

- 2·|x·y| ≤ -2·x·y

Wir teilen durch -2. Achtung. Das Ungleichheitszeichen dreht sich dabei um!

|x·y| ≥ x·y

Das ist jetzt aber mit Sicherheit erfüllt, da |z| ≥ z immer gilt.

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