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ich brauche Hilfe bei dem Bestimmen von Eigenvektoren. Meine Matrix ist:

$$\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$$

Habe die Eigenwerte -1, -1, und 2.

Kann mir jemand bitte mit der Zeilenumformung vorzeigen, wie ich die Eigenvektoren (Edit) an diesem Beispiel errechnen kann?


!!!

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2 Antworten

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am Beispiel des Eigenwerts -1:

die definierende Gleichung lautet:

$$ Av=\lambda v=-1*v=-v $$

Das ergibt das Gleichungssystem:

$$ y+z=-x\\x+z=-y\\x+y=-z\\$$

das ist 3mal die selbe Gleichung, also bleibt nur noch zu lösen:

$$ x+y+z=0$$

Da sind 3 Variablen und eine Gleichung, daher kann man 2 Variablen frei wählen, z.B x und y .

z ist dann abhängig von der Wahl von x und y .

$$ z=-x-y$$

Die Lösungsmenge ist somit

$$ E(-1)=\{v\in \mathbb{ R }^3: v=\begin{pmatrix} x\\y\\-x-y \end{pmatrix}|x,y  \in \mathbb{ R }\} $$

Wenn du nur einen Eigenvektor benötigst, so setze z.B x=y=1

Avatar von 37 k
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Hallo II,

du kannst einfacher mit der   Sarrusregel   die Determinante D von

⎡ -a   1   1 ⎤

⎢  1  -a   1 ⎥             ausrechnen:            D  =  - a^3 + 3·a + 2 

⎣  1   1  -a ⎦

 - a^3 + 3·a + 2  =  - (a - 2)·(a + 1)^2  =  0

ergibt die  Eigenwerte  a1 = 2,  a2,3 = -1

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Wird in der Frage nicht nach Eigenvektoren gefragt?

danke für Deine Antwort. Ich habe mich oben leider verschrieben. Ich würde gerne wissen, wie man auf die Eigenvektoren kommt. Ich muss doch dafür für λ den Eigenwert einsetzen und dann versuchen es auf die ZSF zu bringen?

Doch wie mache ich das? Und wie funktioniert das mit dem "freien Variable wählen" ?

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