Eigenvektor durch lineares Gleichungssystem

Question

ich brauche Hilfe bei dem Bestimmen von Eigenvektoren. Meine Matrix ist:

$$\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$$

Habe die Eigenwerte -1, -1, und 2.

Kann mir jemand bitte mit der Zeilenumformung vorzeigen, wie ich die Eigenvektoren (Edit) an diesem Beispiel errechnen kann?

!!!

Answer 1

am Beispiel des Eigenwerts -1:

die definierende Gleichung lautet:

$$Av=\lambda v=-1*v=-v$$

Das ergibt das Gleichungssystem:

$$y+z=-x\\x+z=-y\\x+y=-z\\$$

das ist 3mal die selbe Gleichung, also bleibt nur noch zu lösen:

$$x+y+z=0$$

Da sind 3 Variablen und eine Gleichung, daher kann man 2 Variablen frei wählen, z.B x und y .

z ist dann abhängig von der Wahl von x und y .

$$z=-x-y$$

Die Lösungsmenge ist somit

$$E(-1)=\{v\in \mathbb{ R }^3: v=\begin{pmatrix} x\\y\\-x-y \end{pmatrix}|x,y \in \mathbb{ R }\}$$

Wenn du nur einen Eigenvektor benötigst, so setze z.B x=y=1

Answer 2

Hallo II,

du kannst einfacher mit der   Sarrusregel   die Determinante D von

⎡ -a   1   1 ⎤

⎢  1  -a   1 ⎥             ausrechnen:            D  =  - a³ + 3·a + 2 

⎣  1   1  -a ⎦

 - a³ + 3·a + 2  =  - (a - 2)·(a + 1)²  =  0

ergibt die  Eigenwerte  a₁ = 2,  a_2,3 = -1

Gruß Wolfgang

Comments

Wird in der Frage nicht nach Eigenvektoren gefragt?

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danke für Deine Antwort. Ich habe mich oben leider verschrieben. Ich würde gerne wissen, wie man auf die Eigenvektoren kommt. Ich muss doch dafür für λ den Eigenwert einsetzen und dann versuchen es auf die ZSF zu bringen?

Doch wie mache ich das? Und wie funktioniert das mit dem "freien Variable wählen" ?