Fläche zwischen zwei Kurven

Question

Die Fläche von 27 sollte sich doch auf oberhalb der x Achse beziehen. Wie findet die Fläche unterhalb der x Achse Berücksichtigung in dieser Formel ?

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"Die Fläche von 27 sollte sich doch auf oberhalb der x Achse beziehen. Wie findet die Fläche unterhalb der x Achse Berücksichtigung in dieser Formel?"

Nein, es wird die gesamte, schraffierte Fläche berechnet. Das wird erreicht durch die Differenzbildung. Zeichne die Differenzfunktion und du siehst, warum das so ist.

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Habe ich gezeichnet und diese ergibt eine Parabel die mir aber nichts sagt. Meine Frage lautet wie der Bereich unterhalb der X Achse (Minusbereich) in der Formel berücksichtigt ist..

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Du berechnest ja hier die Fläche unter der Differenz Funktion. Diese liegt komplett oberhalb der x Achse. Du musst dich von dem Bild mit der schraffierten Fläche oben lösen.

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Bitte zunächst einmal die korrekten
Funktion f und g angeben.
Ansonsten kann ich dir nicht weiterhelfen.

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@koffi123: Die Differenzfunktion ist oben angegeben und sie liegt im Integrationsintervall nicht oberhalb der x-Achse.

Das ist aber auch nicht weiter schlimm, solange sie dort ihr Vorzeichen nicht wechselt.

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Wenn man g(x)-f(x) nehmen würde, dann würde sie komplett oberhalb der x Achse liegen und es käme sogar eine positive Fläche raus.

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Ich habe f(x) im Bereich 0 bis 1 plus Bereich f(x) 4 bis 6 addiert minus g(x) Bereich 0 bis 6 minus f(x) Bereich 1 bis 4 berechnet und bin verwundert nicht auf das o.g. Ergebnis gestossen zu sein. Daher meine Frage.

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Deine Vorgehensweise, zuerst die Fläche von f und dann die Fläche von g auszurechnen, machen
viele Anfänger, ist aber deutlich komplizierter
als direkt die Differenzfunktion zwischen beiden
Funktionen zu bilden
d = f - g
oder
d = g - f

Es ist egal was man nimmt.
Sollte das Ergebnis negativ sein nimmt man
einfach den Betrag.
Dann stimmen beide Ergebnisse überein.

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Stückeln geht auch:

$$ A = \int _0 ^6 g(x)\text{ d}x - \int _0 ^1 f(x)\text{ d}x - \int _1 ^4 f(x)\text{ d}x - \int _4 ^6 f(x)\text{ d}x $$Vielleicht hast du dich bei den Vorzeichen verheddert oder irgendwas vergessen?

Mit den Rechenregeln für Integrale (werden im Unterricht vermutlich erst später behandelt) lässt sich der Stückelterm zusammenfassen zu

$$ A = \int _0 ^6 g(x)-f(x) \text{ d}x $$

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Mein Holpern gedanklich lässt sich an deiner Stückelungsformeln zeigen, ich habe den f(x) Bereich 1 bis 4 nicht subtrahiert sondern addiert schien mir logisch weil unterhalb der x Achse . Ich dachte  Fläche g(x) wäre nur der Bereich 0 bis 6 bis y =0

Answer 1

Die Differenzfunktion ist nie negativ. Also ist alles berücksichtigt.

Comments

Diese Differenzfunktion ist innerhalb des betrachteten Intervalls immer negativ.

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ok, jedenfalls kein Vorzeichenwechsel;

deshalb kann man in einem durch

integrieren.

Answer 2

> Fläche zwischen zwei Kurven

Die Fläche zwischen den Kurven der Funktion f(x) und g(x) berechnet man so:

1. Funktionsgleichung der Funktion h(x) = f(x) - g(x) aufstellen.
2. Nullstellen von h(x) bestimmen.
3. Die Funktion h(x) jeweils von einer Nullstelle bis zur nächsten Nullstelle integrieren
4. Beträge der Integrale addieren.

Beispiel. f(x) = x³ - x, g(x) = 2x.

1. h(x) = x³ - x - 2x = x³ - 3x.
2. Nullstellen sind bei x=0, x=-1 und bei x=1.
3. ∫_-1..0 h(x) = 5/4, ∫_0..1 h(x) = -5/4.
4. |5/4| + |-5/4| = 5/4 + 5/4 = 10/4 = 5/2.

> Die Fläche von 27 sollte sich doch auf oberhalb der x Achse beziehen.

In der Übeschrift zu deiner Frage hast du noch behauptet, dass sie sich auf die zwei Kurven bezieht.

> Wie findet die Fläche unterhalb der x Achse Berücksichtigung in dieser Formel ?

Die x-Achse ist ab dem Zeitpunkt uninteressant, ab dem du nur noch f(x) - g(x) betrachtest.

Comments

Habe verstanden...nach langer Zündschnur.