Grenzwert existiert nicht, wieso?

Question

Der Grenzwert existiert doch oder? Der ist doch 0? Aber Grenzwert soll eigentlich nicht existieren...

Answer 1

Was ist den der Grenzwert

lim (x --> 0) COS(1/x)

???

Comments

Da cos zwischen -1 und 1 ist, gibt es keinen Grenzwert oder?

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Die Häufungswerte bilden das gesamte Intervall \(\left[-1,+1\right]\).

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Richtig. Daher gibt es hier keinen Grenzwert.

Eine Idee vom Grenzwert kann man auch bekommen, wenn man die Funktion zeichnen lässt:

~plot~ 2*x*sin(1/x)-cos(1/x) ~plot~

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Diese Plausibilitätsbetrachtungen sind natürlich noch kein Divergenznachweis.

Answer 2

lim x −> 0 [ 1 / x ] = ∞
sin ( ∞ ) : nicht defniert, schwankt zwischen-1 und 1
lim x −> 0 [ 2 * x * sin ( ∞ ) ] = 0 * ( -1 .. 1 ) = 0
entfällt

also bleibt
lim x −> 0  [ 1 / x ] = ∞
cos ( ∞ )  nicht defniert