Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte P1 (2;f(2)) und P2 (4;f(4)).

Question

Ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Die Gleichung einer linearen Funktion lässt sich ja mit f(x)=mx+b berechnen. Aber wie kann ich denn m errechnen, wenn ich keine Funktionswerte habe. Über den Differenzenquotienten ist es so nicht möglich, oder? Ich habe ja eigentlich nur zwei Argumente gegeben, keine Funktionswerte, keine Steigung und nicht den Schnittpunkt mit der y-Achse, wie kann man diese Aufgabe dann lösen?

LG

Comments

Ist wirklich nicht mehr angegeben ?
Bitte ein Foto der Aufgabe einstellen.

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Es sind denke ich nur P1 und P2 gegeben.

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Hallo Katharina,

wenn du in die Funktionsgleichung aus a) für x 2 bzw. 4 einsetzt, hast du auch die y-Werte und kannst mit dem Differenzquotienten die Steigung berechnen.

Gruß
Silvia

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Aber die Funktion aus a) ist ja eine quadratische und bei b) geht es um eine lineare Funktion. Darf ich trotzdem die Funktionswerte von einer Geraden mit der Gleichung einer anderen Funktion bestimmen?

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Klar, die Gerade schneidet die Parabel. Das geht ohne weiteres.

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Das sieht dann so aus.

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Darf man die Funktionswerte einer Geraden immer mit einer anderen Funktionsgleichung berechnen, wenn sie diese schneidet? Denn die Gerade aus b) würde die Parabel f(x)=(x-3)²-7 ja auch schneiden, aber wenn ich dort für x 4 bzw. 2 einsetze, erhalte ich andere Funktionswerte.

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Du sollst ein Gerade bestimmen, die durch die Punkte P₁(2|-4) und P₂(4|0) geht.. Mit dem Differenzquotienten ergibt sich die Steigung m = 2. Wenn du dann die Koordinaten einer der beiden Punkte einsetzt, also z.B. -4 = 2*2 + b, erhältst du für b -8. Somit lautet die Gleichung der Geraden, die die Funktion f(x) in besagten Punkten schneidet g(x) = 2x - 8

Answer 1

f(x) = (x-2)² -4

also f(2)= -4 und f(4) = 0

Damit hast du die Punkte ( 2;-4) und ( 4;0) und kannst

mit dem Differenzenquotienten loslegen.

Answer 2

b.)
( x | y )
( 2 | -4 )
( 4 | 0 )

m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( -4 - 0 ) / ( 2 - 4 )
m = 2

Einsetzen
y = m * x + b
( 2 | -4 )
-4 = 2 * 2 + b
b = - 8

g ( x ) = 2 * x + 8

c. ) mittlere Änderungsrate = m = 2

d.)
f ´( 3 ) = [ ( f ( 3 ) + h ) - f ( 3 ) ] / ( ( x + h ) - x )
f ´( 3 ) = [ ( 3 + h ) - 2 )^2 - 4 - ( ( 3  -2)^2 - 4 ) ]
            / h
f ´( 3 ) = [ ( 1 + h  )^2 - 4 - (-3 ) ]
            / h
f ´( 3 ) = [ 2h + h^2 ] / h  | : h
f ´( 3 ) = 2 + h
lim h−> 0 [ 2 + h ] = 2

f ´( 3 ) = 2

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Ich verstehe das alles, bis auf b). Warum darf ich die Funktionswerte der Geraden mit der Gleichung einer anderen Funktion bestimmen und woher weiß ich, wann ich das machen darf?

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In der Aufgabenstellung heißt es

a.) ... f ( x ) = ( x -2 ) ^2 - 4 ...

b. ) Die 2 Punkte sind
( 2 | f ( 2 ) ) = ( 2 | ( x - 2 ) ^2 - 4 )
f ( 2 ) = ( 2 - 2 )^2 - 4 = - 4
( 2 | - 4 )

f ( 4 ) ebenso berechnen
( 4 | 0 )

Answer 3

Du: "Aber wie kann ich denn m errechnen, wenn ich keine Funktionswerte habe. Über den Differenzenquotienten ist es so nicht möglich, oder?"

 

zu b) Zweipunkteform der Geradengleichung:

$$ y = \dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}\cdot \left(x-4\right)+f(4) $$oder

$$ y = \dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}\cdot \left(x-2\right)+f(2) $$Da f gegeben ist, kann die Gleichung berechnet werden.

zu c)

$$ m(2,4) = \dfrac{f(4)-f(2)}{4-2} $$Da das schon in b) berechnet wurde, kann es im Ergebnis übernommen werden. Man könnte umgekehrt auch erst c) und damit dann b) erledigen.

zu d)

$$ \lim_{x\,\to\,3} \dfrac{f(3)-f(x)}{3-x} = \dots$$

Ich hoffe, es werden ein paar Zusammenhänge deutlich.