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Ich verstehe die beweisführung nicht. Kann mir jm den Beweis erklären. Ich verstehe nicht wie aus einer gleichmächtigkeit su rjektiv (einschließlich warum sind sie gleivhmächtig) folgt und ii--> iii verstehe ich gar nicht.

Gegeben φ : M→M. Beweise die Äquivalenz

i) Phi ist injektiv

ii) Phi ist surjektiv

iii) Phi ist injektiv

i--> ii 

|M| = |M|, dann gilt |φ(M)| = |M| = |M|

Aus φ(M) ⊆ M folgt damit φ (M) = M

Somit ist surjektiv.

ii-->ii

Angenommen es gibt a, a1 Element von M mit a ungleich a1 und φ(a) = φ(a1)

Dann gilt |φ(M)| < |M| = |M|

Das ist ein Widerspruch, damit ist Phi injektiv.

von

Zu ii --> iii

Es gilt: Kern(φ) = { m ∈ M | f(m) = 0 } ,
Es ist φ(a) = φ(a1) und a - a1 ≠ 0
ist φ linear dann gilt:
φ(a) - φ(a1) = φ(a - a1) = 0  also ist im Kern nicht nur der Nullvektor
aus dim(M) = dim(Kern(φ)) + dim(Bild(φ)) folgt, dass dim(Bild(φ)) < dim(M)
bzw. |φ(M)| < |M|



also das war nicht die richtige erklärung ich habe den endomorphismus nicht beachtet und glaube dass da linearität keine rolle spielt sorry : ( eigentlich kann man da nicht mehr so viel da zu sagen als da was schon da steht

@Maaarkus: Du solltest die Behauptung noch mal ganz genau lesen. Da steht eine Voraussetzung ueber M dabei, die essentiell ist, die Du aber grosszuegig gestrichen hast.

1 Antwort

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Beste Antwort

Ich vermute mal dass M eine ENDLICHE Menge ist.

(Sonst würden die Aussagen auch nicht stimmen, wie das

Beispiel f:ℕ ---> ℕ; x --->  2x lehrt.

Die Abb. ist injektiv aber nicht surjektiv. )

Und wenn M endlich ist gilt für jede Teilmenge N ⊆ M:

|N| = | M | ==>   N = M .

Das ist bei i --> ii verwendet worden.

Ich hab das mal ein wenig ergänzt, vielleicht hilft das.

Etwa so 

(|M| = |M|,??)   Die Abb. ist injektiv, also ist sie

als Abb. von M nach dann φ(M)  bijektiv,

(denn wenn die Zielmenge das Bild von φ ist, ist

sie ja automatisch surjektiv) also  gilt |φ(M)| = |M| 

Aus φ(M) ⊆ M folgt damit φ (M) = M (s.o.) 

|N| = | M | ==>   N = M .

Somit ist surjektiv.

ii-->ii   Hier wird ein Widerspruchsbeweis geführt.

Also man nimmt an, das φ surjektiv ist aber nicht injektiv.

Dann müsste es mindestens zwei verschiedene Elemente geben,

die das gleiche Bild haben, also :

Angenommen es gibt a, a1 Element von M mit a ungleich a1 und φ(a) = φ(a1)

Dann gilt |φ(M)| < |M|  ( wegen der Endlichkeit von M . !!!!!!!! ) 

Das ist ein Widerspruch zur Surjektivität, damit ist Phi injektiv.

von 153 k

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