Quadratisches Polynom mit Entwicklungspunkt berechnen

Question

ich versuche mich gerade an dem Thema quadratische Taylorpolynome, jedoch verstehe ich nicht richtig, wie das geht. Die Aufgabe lautet:

Gegeben sei die Funktion f: R³-> R mit f(x,y,z)= 2x²+y^4+2z²+4yz.

Berechnen Sie das quadratische Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt (1,1,1).

Ich bitte, um eine ausführliche Rechnung, damit ich (hoffentlich) nachvollziehen kann wie man solche Aufgaben löst.

Comments

Weißt du wie man einen Gradienten sowie die Hesse-Matrix berechnet? Damit kann man die Aufgabe lösen.

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Ja, Gradienten und Hesse-Matrix kann ich berechnen

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Gut. Ich schreibe dir mal die allgemeine Formel für das Taylorpolynom 2ten Grades auf:

$$ t_{2,f,\vec{ x_{0} }}({ \vec{ x } }_{  })=\\f(\vec{ x_{0} })+grad(f(\vec{ x_{0} }))^T*(  \vec{ x }-\vec{ x_{0} })+\frac { 1 }{ 2 }(  \vec{ x }-\vec{ x_{0} })^T *Hess(f(\vec{ x_{0} }))*(  \vec{ x }-\vec{ x_{0} }) $$

Also zuerst Gradient und Hesse Matrix ausrechnen, dann den Entwicklungspunkt dort einsetzen und die entsprechenden Terme multiplizieren (Matrixmultiplikation)

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Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie das quadratische Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt (1, 1, 1)^T.

Stichworte: taylorpolynom,entwicklungspunkt

Jo,

wie geht diese Aufgabe? 

Also ich weiß. dass ich alles partiell ableiten muss.

Habe ich auch getan aber ich weiß nicht wie ich jetzt alles in die allg. Formel von der Taylorpolynom einsetzen soll...

mfg.

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Wäre das so richtig

T2(x, y, z) = 2·x^2 + 6·y^2 + 4·y·z - 8·y + 2·z^2 + 3

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Dieses Ergebnis erhalte ich auch.

Answer 1

Geht aber - glaube ich - auch zu Fuß. etwa so 

(weil da viele gleich sind (Satz von Schwarz) etc, geht es auch eleganter

ich perönlöich merke es mir lieber so)

f(x,y,z) ≈ f(1,1,1) + f '_x(1,1,1)*(x-1)+f '_y(1,1,1)*(y-1)+f '_z(1,1,1)*(z-1)

   + (1/2)  ( f''_xx(1,1,1)*(x-1)(x-1)+f''_xy(1,1,1)*(x-1)(y-1)+f''_xz(1,1,1)*(x-1)(z-1)

+f''_yx(1,1,1)*(y-1)(x-1)+f''_yy(1,1,1)*(y-1)(y-1)+f''_yz(1,1,1)*(y-1)(z-1)

+f''_zx(1,1,1)*(z-1)(x-1)+f''_zy(1,1,1)*(z-1)(y-1)+f''_zz(1,1,1)*(z-1)(z-1)  ) 

= 9 + 4*(x-1) +8*(y-1)+8*(z-1) 

+(1/2) *   (    4*(x-1)(x-1)+0*(x-1)(y-1)+0*(x-1)(z-1)

+0*(y-1)(x-1)+12*(y-1)(y-1)+4*(y-1)(z-1)

+0*(z-1)(x-1)+4*(z-1)(y-1)+4*(z-1)(z-1)  ) 

= 9 + 4*(x-1) +8*(y-1)+8*(z-1) 

+(1/2) *   (    4*(x-1)(x-1)+12*(y-1)(y-1)+4*(y-1)(z-1)+4*(z-1)(y-1)+4*(z-1)(z-1)  ) 

= 9 + 4*(x-1) +8*(y-1)+8*(z-1) 

+2*(x-1)(x-1)+6*(y-1)(y-1)+2*(y-1)(z-1)+2*(z-1)(y-1)+2*(z-1)(z-1)  

Comments

gut, dass es den anderen weg gibt :D

Answer 2

schau mal dort

https://www.mathelounge.de/480318/quadratisches-polynom-mit-entwicklungspunkt-berechnen

Comments

danke bringt aber nicht viel, da dort auch noch keine Lösung ist... 

PS; wäre besser dies als kommentar zu schreiben, so dass andere noch sehen können, dass hier noch keine antwort ist und antworten können....

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Da steht doch eine Lösung:

9 + 4*(x-1) +8*(y-1)+8*(z-1) 

+2*(x-1)(x-1)+6*(y-1)(y-1)+2*(y-1)(z-1)+2*(z-1)(y-1)+2*(z-1)(z-1)  

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ja jetzt steht da was... vielen dank fürs erinnern :)