Wie berechnet man die Nullstellen dieser Funktion: f(x)=e^{0,5x}-e^x

Question

Berechne die Nullstellen der Funktion:

f(x)=e^{0,5x}-e^x 

Ich komme einfach nicht weiter.. Welches Verfahren muss ich anwenden? Ich hoffe mir kann jemand helfen..

Comments

Man kann das auch mit einem exponentenvergleich lösen.

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@Kofi
die einfache Lösung hast du gut erkannt.

@Fragsteller
f(x)=e^0,5x-e^x
e^0,5x-e^x  = 0
e^0,5x = e^x
Vergleich der Exponenten, da gleiche
Basis vorhanden
0.5x = x
x = 0

Answer 1

e^{0.5·x} - e^x = 0

Subst. e^{0.5·x} = z

z - z^2 = 0

z(1 - z) = 0

z = 0 --> e^{0.5·x} = 0 --> Keine Lösung

z = 1 --> e^{0.5·x} = 1 --> x = 2 * LN(1) = 0 

Comments

x = 2 * LN(0)  --> Keine Lösung

Das sollte man lieber nicht so aufschreiben.

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Ja. Danke für den Hinweis. Ich bessere das gleich mal nach.

Ich hoffe so ist das besser.

Answer 2

0= e^{0.5x} (1 -e^{0.5x} )

->Satz v. Nullprodukt

a) 0= e^{0.5x} ->keine Lösung

b) 1 -e^{0.5x}  =0

 -e^{0.5x}  = -1 | *(-1)

e^{0.5x}  =1 | ln(..)

0.5 x *ln(e)= ln(1) | : ln(e)

ln(e)=1

ln(1)=0

---->

0.5x = 0

x=0

Answer 3

f ( x ) = e^0,5x - e^x

f ( x ) = e^0,5x - e^0.5x _*  e^{0.5x}
f ( x ) = e^0,5x - ( e^0.5x ) ^2

Ersetzen
a - a^2 = 0
Satz vom Nullprodukt
a * ( 1 - a ) = 0
a = 0
und
a = 1

Rückersetzen
e^0,5x  = 0 ( geht nicht )
und
e^0,5x  = 1
0.5 * x * ln ( e ) = ln ( 1 )
0.5 * x = 0
x = 0

Probe
f ( 0 ) = e^0,5*0 - e^0
f ( 0 ) = 1 - 1 = 0
N ( 0 | 0 )
wurde auch grafisch überprüft. Stimmt.

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