(A-B)∪(B-A)=∅⇔A=B
Wie kann ich diese Aussage zeigen?
Ich weiß, dass
(A-B)∪(B-A)=(x∈A ∧x ∉B)∪(x∈B ∧x ∉A) .
(Auf der linken Seite der Gleichung steht kein x, das muss man
also noch etwas korrigieren. Ansonsten ist das doch schon die halbe
(wenigstens 1/4) Miete.
Könnte dann so aussehen
Es sei (A-B)∪(B-A)=∅ # und sei x∈A
(Dann musst du zum Nachweis der Gleichung A=B erst
mal zeigen, dass daraus folgt x∈B .)
Angenommen, es wäre x ∉B , dann hätten wir
x∈A ∧x ∉B und damit x∈A\B, also A\B≠∅,
also auch (A-B)∪(B-A)≠∅ im Widerspruch zu #.
(Damit hast du jedenfalls gezeigt:
(A-B)∪(B-A)=∅ ==> A⊆B )
Entsprechend bekommst du auch hin :
Es sei (A-B)∪(B-A)=∅ # und sei x∈B
==> .......................................... x∈A
(Damit hast du jedenfalls gezeigt:
(A-B)∪(B-A)=∅ ==> A⊆B )
Also insgesamt (A-B)∪(B-A)= ∅ ==> A=B .
Dann musst du die Rückrichtung noch betrachten, also aus
A=B irgendwie folgern .. (A-B)∪(B-A)= ∅
Das gelingt wohl so:
Es sei A=B und angenommen, es sei (A-B)∪(B-A)≠ ∅
Dann gibt es entweder ein x∈A\B oder eines aus B\A.
Beide Fälle kannst du zum Widerspruch führen und hast damit
alles gezeigt. Viel Erfolg , kannst ja notfalls mal nachfragen.
