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(A-B)∪(B-A)=∅⇔A=B

Wie kann ich diese Aussage zeigen?

Ich weiß, dass
(A-B)∪(B-A)=(x∈A ∧x ∉B)∪(x∈B ∧x ∉A)

Was mache ich jetzt mit der leeren Menge?

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(A-B)∪(B-A)=∅⇔A=B 
Wie kann ich diese Aussage zeigen?

Ich weiß, dass
(A-B)∪(B-A)=(x∈A ∧x ∉B)∪(x∈B ∧x ∉A) .
(Auf der linken Seite der Gleichung steht kein x, das muss man
also noch etwas korrigieren. Ansonsten ist das doch schon die halbe

(wenigstens 1/4) Miete.

Könnte dann so aussehen

Es sei  (A-B)∪(B-A)=∅  #             und sei  x∈A

(Dann musst du zum Nachweis der Gleichung A=B erst

mal zeigen, dass daraus folgt  x∈B .)

Angenommen, es wäre x ∉B , dann hätten wir

x∈A ∧x ∉B    und damit  x∈A\B, also A\B≠∅,

also auch (A-B)∪(B-A)≠∅ im Widerspruch zu #.

(Damit hast du jedenfalls gezeigt: 

(A-B)∪(B-A)=∅    ==>    A⊆B )

Entsprechend bekommst du auch hin :

Es sei  (A-B)∪(B-A)=∅  #             und sei  x∈B

==> ..........................................  x∈A

(Damit hast du jedenfalls gezeigt: 

(A-B)∪(B-A)=∅    ==>    A⊆B )

Also insgesamt  (A-B)∪(B-A)= ∅ ==> A=B .

Dann musst du die Rückrichtung noch betrachten, also aus 

A=B   irgendwie folgern  ..   (A-B)∪(B-A)= ∅

Das gelingt wohl so:

Es sei A=B und angenommen, es sei (A-B)∪(B-A)≠ ∅

Dann gibt es entweder ein x∈A\B  oder eines aus B\A.

Beide Fälle kannst du zum Widerspruch führen und hast damit

alles gezeigt.  Viel Erfolg , kannst ja notfalls mal nachfragen.

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