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Berechnen sie den Flächeninhalt unter der Funktion 9/(3x+7) zwischen den Grenzen x = 4 und x = 8.

Hab gar keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll. Kann mir jemand die Schritte aufzeigen und eventuell den Rechenweg schildern, damit ichs auch verstehe?

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Eine Fläche unter einer Funktion rechnet man grundsätzlich mit Hilfe des Integrals der betreffenden Funktion aus. Dazu hast Du bestimmt Unterlage und im I-Net findest Du genug zum Thema. Wenn Du gar nicht weiter weist, so mache Dir erstmal eine Skizze - so wie die:

~plot~ 9/(3x+7);{4|1};{8|1};[[-1|9|-1|3]] ~plot~

Wenn Du nun die Fläche zwischen der X-Achse und der Funktion in den Grenzen von \(x=4\) bis \(x=8\) ausmalst, so kann man schätzen, das die Gesamtfläche etwas größer als 1 ist.

Konkret macht man sich bei dieser Aufgabe zu Hilfe, dass

$$\int \frac{1}{x} \space dx = \ln x$$ist. Nun steht unter dem Bruchstrich aber nicht \(x\) sondern \(3x+7\). Ein Trick besteht nun darin, dass zu ignorieren und umgekehrt den Term \(\ln(3x+7)\) abzuleiten (Kettenregel). Einfach probieren:

$$f(x)=\ln(3x+7) \quad \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{3x+7} \cdot 3$$ Aha! - der Faktor vor dem \(x\) wandert also bei der Ableitung nach oben. Man braucht also im Vorfeld bloß durch 3 teilen und erhält das gewünschte Ergebnis

$$\quad \Rightarrow \int \frac{1}{3x+7} \space dx= \frac13 \ln(3x+7) + C$$ Die 9 ist nur ein Faktor, den an mitschleppt.
das konkrete Integral ist dann
$$\int_4^8 \frac{9}{3x+7} \space dx = \left. \frac{9}{3} \ln (3x+7) \right|_4^8$$
"in den Grenzen von 4 bis 8" heißt, dass man den Wert für 4 und 8 berechnet und anschließend die Differenz bildet:$$ \space = \frac{9}{3} \ln (3\cdot 8 +7) - \frac{9}{3} \ln (3 \cdot 4 + 7) \approx 1,469$$das Ergebnis stimmt in der Größenordung mit der Schätzung überein.

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Hi,

Integration durch Substitution führt zum Ziel. Substituiere u = 3x+7, leite u nach x ab: du/dx = 3, löse das nach dx auf: dx = du/3 und ersetze dx im Integral durch du/3.

$$\int\dfrac {9}{3x+7}dx=9\int\dfrac {1}{3x+7}dx=9\int\dfrac {1}{u}dx\\\mu=3x+7 \Rightarrow dx=\dfrac {du}{3}\\9\int\dfrac {1}{\mu}dx=9\int\dfrac {1}{\mu}\cdot\dfrac {du}{3}=3\int\dfrac {du}{u}=3\ln \left( u\right) + c $$

Rücksubstitution:

$$3\ln \left( u\right) = 3 \ln \left( 3x+7\right)$$
Grenzen einsetzen
$$3  \ln\left( 3x+7\right) \bigg \vert  ^{8}_{4} = 3\ln\left( 31\right) -3\ln\left( 19\right) = 3 \ln \left(\frac{31}{19} \right) \approx 1,47$$



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