Injektivität von Funktionen

Question

Wir wollen die folgende Charakterisierung von Injektivität zeigen: Sei f : X → Y einen Abbildung. Dann gilt f injektiv ⇐⇒ A = f −1 (f (A)) für all A ⊆ X. 

Wir zeigen die Äquivalenz, indem wir sie in zwei Implikationen zerlegen: die Hinrichtung (=⇒) und die Rückrichtung (⇐=). (1) Zeigen Sie die Hinrichtung. Hierbei müssen Sie die Gleichheit der beiden Mengen A und f^-1 (f (A)) zeigen. Zeigen Sie beide Inklusionen ⊆ und ⊇ getrennt. 

(2) Zeigen Sie die Rückrichtung. Hierfür bietet es sich an die Kontraposition der Implikation zu zeigen. (Wie sieht diese aus?)

Für die zweite Frage , was ist die Kontraposition von der Implikation und wie kann man sie beweisen ? 

Comments

Das habe ich gestern besser formatiert schon einmal gesehen. Bitte suche die entsprechende Frage. 

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Ist vielleicht https://www.mathelounge.de/485266/charakterisierung-von-injektivitat gemeint? 

Answer 1

Hallo Wassimbs,

Wikipedia Kontraposition:
Unter Kontraposition (von lateinisch contra ‚gegen‘ und lat. positio ‚Position‘, ‚Stellung‘, ‚Lage‘) versteht man in der Logik den Umkehrschluss einer Implikation, d. h. den Schluss von „Wenn A, dann B“ auf „Wenn nicht B, dann nicht A“.

Zu beweisen:  Implikation:  A = f^-1(f(A)) für alle A => f injektiv

Kontraposition:  f nicht injektiv => A ≠ f^-1(f(A)) 

Dafür genügt es, ein Beispiel zu machen.  Aus der Definition der Injektivität wissen wir jetzt, dass es ein y gibt, für das gilt f(x₁) = y und f(x₂) = y, x₁ ≠ x₂.  A = {x₁}.  f^-1(f(A)) = f^-1(y) = {x1, x2} ≠ A.