Geometrische Folge Quadrat Dreieck

Question

Ein Quadrat s = 50 cm wird durch eine diagonale in zwei Dreiecke zerlegt jeden dieser dreieck wird das größte Quadrat eingeschrieben dessen Seite zu den Seiten des ersten Quadrates parallel sind .Diese Quadrate werden durch Diagonalen wieder in zwei Dreiecke zerlegt und so weiter .Der gesamte Zyklus (zerlegen und Anschreiben) wird insgesamt 10 Mal durchgeführt.

Berechnen Sie a) Summe der Flächeninhalte aller Quadrate b)Summen der Längen aller Diagonalen 

Answer 1

Hi

Jeder neue Zyklus halbiert die vorige Seitenlänge und verdoppelt die Anzahl der Quadrate, das ergibt die Flächeninhalte pro Zyklus:
1 * s*s = s^2
2 * s/2*s/2 = s^2/4         Zyklus Nr.1
4 * s/4*s/4 = s^2/16         Zyklus Nr.2
8 * s/8*s/8 = s^2/64        Zyklus Nr.3
16 * s/16*s/16 = s^2/256    Zyklus Nr.4

Flächeninhalte summiert
s^2 + s^2/4 + s^2/16 + s^2/64 + s^2/256 + ... =
s^2(1 + 1/4 + 1/16 + ...)

Das führt zur Formel für die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate in Abhängigkeit von der Anzahl der Zyklen \(A(n) = s^2 \sum_{k=0}^{n}{ \frac{1}{4^k} } \)




Dasselbe in Grün machen wir mit den Diagonalen. Die Länge L einer Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge s ist:
L = √(s^2 + s^2) = √(2s^2) = s√2

Die Summe der Diagonalen pro Zyklus ist folglich
1 * s√2           
2 * s/2*√2        Zyklus Nr.1
4 * s/4*√2         Zyklus Nr.2
8 * s/8*√2         Zyklus Nr.3
16* s/16*√2         Zyklus Nr.4

Summierte Zyklen
1 * s√2    + 2 * s/2*√2 + 4 * s/4*√2 + 8 * s/8*√2 + 16* s/16*√2 + ... =
s√2 + s√2 + s√2 + ... =

Die Summe L (der Längen aller Diagonalen) ist L = s√2 + n*s√2 wobei n hier wieder die Anzahl der Zyklen ist.

Beste Grüße