Zeigen Sie, dass der Graph an der Stelle x=4 eine Doppelnullstelle hat

Question

Gegeben ist die Funktion

 f(x)= -x³+9x²-24x+16 

Zeigen Sie, dass der Graph an der Stelle x=4 eine Doppelnullstelle hat

Comments

Da gäbe es mehrere Möglichkeiten. Welche ziehst du denn so in Erwägung?

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Hornerschema? Bzw. Pq Formel?

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Ok, das sind sind schon mal zwei mögliche Wege.

Mit dem Horner-Schema kannst du sofort loslegen, als Vorbereitung für die pq-Formel müsstest du den Linearfaktor (x-4) herausteilen und vorher oder nachher das Minus vorne beseitigen.

Ein anderer Weg besteht in der Überlegung, dass eine Doppelnullstelle eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel sein muss, hier also eine Extremstelle vorliegt...

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Ein vierter Weg besteht darin, mal nach der noch fehlenden dritten Nullstelle Ausschau zu halten.

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Wie erkennt man ob es sich um eine einfache, doppelte nullstelle handelt?

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Bei ganzrationalen Funktionen ist $x=a$

eine einfache Nullstelle, wenn $f(a)=0$ und $f'(a)\ne0$ ist,

eine zweifache Nullstelle, wenn $f(a)=f'(a)=0$ und $f''(a)\ne0$ ist,

eine dreifache Nullstelle, wenn $f(a)=f'(a)=f''(a)=0$ und $f'''(a)\ne0$ ist

und so weiter.

Dies wäre ein mögliches Kriterium.

Answer 1

Wenn du per Hornerschema oder Polynomdivision anfängst, erhältst du

f(x) = - (x² -5x + 4) *  (x-4)

und der quadratische Term hat auch eine Nullstelle bei x=4.

Das ist eine und der Linearfaktor liefert auch eine,

also doppelt .

Answer 2

x = 4 einsetzen um zu sehen ob dies eine
Nullstelle ist.
Ja.
Eine Polynomdivision
-x³+9*x²-24*x+16 / x-4
ergibt die weiteren Lösungen x = 1 und x = 4.
x = 4 ist eine doppelte Nullstelle.

Answer 3

Zeigen Sie, dass der Graph an der Stelle $x=4$ eine Doppelnullstelle hat.

Im Punkt $P (4|0)$  ist ein Extremwert:

$f(x)= -x^3+9x^2-24x+16$

$f'(x)= -3x^2+18x-24$

$-3x^2+18x-24=0$

$x^2-6x=-8$

$(x-3)^2=-8+9=1|±\sqrt{~~}$

1.)

$x-3=1$

$x_1=4$     $f(4)= 0$

2.)

$x-3=-1$

$x_2=2$