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Gegeben ist die Funktion

 f(x)= -x^3+9x^2-24x+16 

Zeigen Sie, dass der Graph an der Stelle x=4 eine Doppelnullstelle hat

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Da gäbe es mehrere Möglichkeiten. Welche ziehst du denn so in Erwägung?

Hornerschema? Bzw. Pq Formel?

Ok, das sind sind schon mal zwei mögliche Wege.

Mit dem Horner-Schema kannst du sofort loslegen, als Vorbereitung für die pq-Formel müsstest du den Linearfaktor (x-4) herausteilen und vorher oder nachher das Minus vorne beseitigen.

Ein anderer Weg besteht in der Überlegung, dass eine Doppelnullstelle eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel sein muss, hier also eine Extremstelle vorliegt...

Ein vierter Weg besteht darin, mal nach der noch fehlenden dritten Nullstelle Ausschau zu halten.


Wie erkennt man ob es sich um eine einfache, doppelte nullstelle handelt?

Bei ganzrationalen Funktionen ist \(x=a\)

eine einfache Nullstelle, wenn \(f(a)=0\) und \(f'(a)\ne0\) ist,

eine zweifache Nullstelle, wenn \(f(a)=f'(a)=0\) und \(f''(a)\ne0\) ist,

eine dreifache Nullstelle, wenn \(f(a)=f'(a)=f''(a)=0\) und \(f'''(a)\ne0\) ist

und so weiter.

Dies wäre ein mögliches Kriterium.

3 Antworten

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Wenn du per Hornerschema oder Polynomdivision anfängst, erhältst du

f(x) = - (x2 -5x + 4) *  (x-4)

und der quadratische Term hat auch eine Nullstelle bei x=4.

Das ist eine und der Linearfaktor liefert auch eine,

also doppelt .

Avatar von 288 k 🚀
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x = 4 einsetzen um zu sehen ob dies eine
Nullstelle ist.
Ja.
Eine Polynomdivision
-x^3+9*x^2-24*x+16 / x-4
ergibt die weiteren Lösungen x = 1 und x = 4.
x = 4 ist eine doppelte Nullstelle.

Avatar von 122 k 🚀
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Zeigen Sie, dass der Graph an der Stelle \(x=4\) eine Doppelnullstelle hat.

Im Punkt \(P (4|0)\)  ist ein Extremwert:

\(f(x)= -x^3+9x^2-24x+16\)

\(f'(x)= -3x^2+18x-24\)

\( -3x^2+18x-24=0\)

\( x^2-6x=-8\)

\( (x-3)^2=-8+9=1|±\sqrt{~~}\)

1.)

\( x-3=1\)

\( x_1=4\)     \(f(4)= 0\)

2.)

\( x-3=-1\)

\( x_2=2\)

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