Welche Werte der Funktion funktionieren in der Definition von Stetigkeit?

Question

Sei
$$\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}, x \rightarrow \sqrt{x}$$ stetig.

Welche der folgenden Werte von von δ funktionieren in der Definition von Stetigkeit für diese Funktion an der Stelle x₀ = 1 für ε = 1/3. Gib alle korrekten Möglichkeiten an.

Hier ein Beispiel

c) δ = 1/3

Setz ich jetzt einfach für x₀= 1+1/3, schau was rauskommt und beobachte, ob es kleiner als mein Epsilon ist? Grenzwert, limes wurde noch nicht behandelt. Kann man das auch durch schönen Umformen und ohne rechnen machen, denn Taschenrechner sind nicht erlaubt und die Funktion ist ewas mühselig.

Answer 1

Du musst doch nur   | x - xo | < δ  ==>   | f(x) - f(xo) | < ε  prüfen.

also bei x₀ = 1 für ε = 1/3  und  δ = 1/3 wäre das

| x - 1 | < 1/3  ==>   | √x     -    1 | <    1/3

und es soll also herauskommen:   | √x     -    1 | <    1/3

==>   -1/3  <   √x     -    1  <    1/3

==>   2/3 <   √x    <    4/3    #

Andererseits gibt

| x - 1 | < 1/3

==>   -1/3 < x-1 < 1/3

 ==>         2/3 < x   <  4/3

==>  √ (2/3) < √x   <  √(4/3)

Weil  √ (2/3)  > 2/3  und   √(4/3) < 4/3

 folgt in der Tat

2/3 <  √ (2/3) < √x   <  √(4/3)  < 4/3 und damit # erfüllt.

Comments

Hallo

Ich hätte doch noch eine Frage. Ist es möglich, so nach δ um zu stellen, dass man nur noch die Werte betrachten kann und direkt sieht, ob es geht, statt es für jeden Wert einzeln zu machen?
Anscheinend sollte es gehen, aber ich bin daran gescheitert.