Aufbrauchen einer Mülldeponie

Question

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie 6000 m3 Müll an, im zweiten Jahr 6600 m3 . Das Wachstum der anfallenden Müllmenge erfolgt geometrisch. Insgesamt bietet die Mülldeponie Raum für 1600000 m3 Müll.
Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Mein Ergebnis ist 59,61 ; wollte fragen ob das stimmt? Könnte mir bitte jemand erklären wie man die Exponentialfunktion rechnerisch ordentlich herleitet?

Comments

Was hast du denn genau gerechnet?

Wenn du das angibst, ist schneller klar, ob dein Rechenweg in Ordnung ist.

Answer 1

Hi

Das Müllvolumen wächst um 600/6000 = 0,1 = 10% pro Jahr.
Daraus bekommen wir den Wachstumsfaktor 1,1.
Kontrolle: 6000 * 1,1 = 6600

Mit dem Startwert 6000 und dem Wachstumsfaktor 1,1
bekommen wir die Wachstumsfunktion für das Müllvolumen V(n) = 6000*1,1^n

Würde uns das Volumen nach 3 Jahren interessieren, würden wir
6000*1,1^n von k=0 bis 2 Summieren und
hätten mit der geom. Summenformel mit q=1,1 nach 3 Jahren das Volumen:
6000*(1-q^{n+1})/(1-q) = 6000*(1-1,1^3)/(1-1,1) = 19860m^3
Kontrolle: 6000 + 6600 + 7260 = 19860

Nach x Jahren hätten wir V(x) = 6000*(1-1,1^x)/(1-1,1)

Nun ist V = 1600000 und
1600000  = 6000*(1-1,1^x)/(1-1,1)
Gesucht: x
1600000 = 6000*(1-1,1^x)/(1-1,1)
1600000 = 6000/(1-1,1) *(1-1,1^x)
1600000 = -60000*(1-1,1^x) | : (-60000)
-80/3 = 1-1,1^x |-1
-83/3 = -1,1^x   |*(-1)
83/3 = 1,1^x
ln(83/3) = x*ln(1,1)
x = ln(83/3)/ln(1,1)
x ≈  34,84
Nach 35 Jahren wäre die Deponie überfüllt.

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Habe es jetzt endlich verstanden!! Dankeschön!

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Sehr gern! Danke für den Stern! :-)                      

Answer 2

6000*(1,1^n-1)/0,1 = 1 600 000

n= 34,83 Jahre

Answer 3

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie 6000 m3 Müll an, im zweiten Jahr 6600 m3 . Das Wachstum der anfallenden Müllmenge erfolgt geometrisch. Insgesamt bietet die Mülldeponie Raum für 1600000 m3 Müll.

m ( x ) = m0 * fak ^x

m ( 2 ) = m0 * fak ^2 = 6600  |
m ( 1 ) = m0 * fak ^1 = 6000 | teilen
------------------------------------
fak ^2 / fak ^1 = 1.1
fakl = 1.1 ( ging auch einfacher )

m ( 1 ) = m0 * 1.1 ^1 = 6000
m0 = 5454.54 m^3

m ( x ) =  5454.54 * 1.1 ^x
oder als e - Funktion
m ( x ) =  5454.54 * e ^{ln(1.1)*x}

Aufsummierung durch Integralrechnung
Stammfunktion
S ( x ) =  5454.54 / ln(1.1) * e ^{ln(1.1)*x}

[ S ( x ) ] zwischen 0 und t = 1 600 000

t = 35.32 Jahre

Bitte kontrollieren.
Bei Bedarf wieder melden.

Comments

Bitte kontrollieren.

Deine Lösung ergibt nicht, dass  [ S ( x ) ] zwischen t=0 und t=1  den Wert  6000  ergibt, wie es sein sollte.

Die richtige Zeit ist daher 34,8 Jahre.

Zur Kontrolle :  Die Gesamtmüllmenge auf der Deponie zum Zeitpunkt t ist einfach 
 M(t)  =  60000·(1,1^t - 1)

An I.13 :  Du hast offenbar das Jahr berechnet, in dem allein der Müll für die gesamte Deponie anfällt.

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was ich nicht ganz verstehe, weshalb man hier die Integralrechnung anwendet...

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und weshalb rechnest Du, t-1?

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Auch hier musst du die geometrische Summenformel nehmen. Das Wachstum ist nicht kontinuierlich. Das müsste extra erwähnt werden.

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Ob die Aufgabe als geometrische Reihe
berechnet werden soll weiß ich nicht.
Der Fragesteller hat auf jeden Fall
" Könnte mir bitte jemand erklären wie man die Exponentialfunktion rechnerisch ordentlich herleitet ?  "
gefragt.

@ Fragesteller
Wie willst du rechnen ?
1. Balken aufsummieren mit geometrischer
Reihenformel
2. als Expontialfunktion mit Integrieren ?