Funktionsterm angeben, wenn Nullstellen gegeben sind

Question

Geben Sie zwei ganzrationale Funktionen dritten Grades an, die nur die angegebene Nullstellen besitzen.

a) 0,2,5

b)4, -1

c)-3, 1

d)3

Kann mir jemand erkären, wie man auf den Term kommt?

Vielen dank!

Answer 1

a) 0,2,5

f(x) = x(x-2)(x-5)

g(x) = 2x(x-2)(x-5)

Dann noch Klammern auflösen (freiwillig)

b)4, -1

f(x) = (x-4)(x+1)^2

g(x) = 2(x-4)(x+1)^2

c)-3, 1

f(x) = (x-3)^2 *(x-1)

g(x) = 2(x-3)*(x-1)^2

d)3

f(x) = (x-3)^3

g(x) = (2x - 6)^3

Nun überall noch die Klammern auflösen (freiwillig).

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe! kannst du mir auch erklären wie du zu de Funktionen kommst?

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Schau mal genau hin. Erkennst du ein Muster?

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Ja, also der Ausgangsterm sozusagen ist ja immer (x+ oder - die erste Nullstelle)*(x+oder- die zweite Nullstelle)* (x+oder- die dritte Nulstelle)

Bei dem ersten Term bei a) funktioniert das ja auch aber wich verstehe nicht wie man auf die anderen Terme kommt oder woher man weiß dass man da noch ein hoch 2 oder mal 2 oder so etwas dazuschreiben kann?

Danke für die Hilfe!!!

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"hoch 2" macht aus einer Nullstelle eine doppelte Nullstelle:

Im Bild so:

~plot~ (x-4)(x+1)^2; 2(x-4)(x+1)^2 ~plot~ 

Das sind dann lokale Extremalstellen. Du kannst die selbst dort hin legen, wo do willst. 

"hoch 3" gibt eine dreifache Nullstelle. Sieht so aus: 

~plot~ 0.1*(x-3)^3 ~plot~ 

Die Nullstelle ist gleichzeitig Wendestelle der Funktion. 

Answer 2

allgemein:

(x-x₁)( x-x₂)(x-x₃)=0 Darstellung als Linearfaktoren

a)(x-0)(x-2)(x-5)=0

x(x-2)(x-5)=0

->

Lösungen: 0.2.5

Comments

Achtung: f(x) = x²(x-2)(x-5) ist 4. Grades 

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x²(x-2)(x-5) ist nicht dritten Grades.

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Wüsste jemadn wie man auf eine weitere Funktion dritten Grads kommt?