Prinzip für Lösungsformeln von Polynomgleichungen?

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Ich beschäftige mich im Moment mit den Lösungen von Polynomgleichungen. Ich kenne die Lösungsformeln von Polynomen vom Grad 1 bis 4. Für höheren Grades gibt es bekanntlich keine Lösungsformeln.

Ich wollte wissen, ob diese vier Lösungsformeln nach einem gleichen Prinzip aufgebaut sind, also ob es eine Gemeinsamkeit bei diesen Lösungsformeln gibt. Um meine Frage zu verdeutlichen, mache ich ein Gedankenexperiment.

Man betrachte die Lösungswege von Linearen und Quadratischen Polynomen. Wenn man das allgemein beschreibt, werden beide auf die Form (x + r)^n = s gebracht, dann wird die n-te Wurzel von s gezogen, mit den Einheitswurzeln multipliziert und noch minus r gerechnet.

Bei den Linearen Funktionen ist r = b/a, n = 1 und s = 0.

Bei den Quadratischen Funktionen ist r = b/2a, n = 2 und s = c/a - b^2/4a^2.

Man könnte also denken, dass Polynomgleichungen im Prinzip nach dieser Form aufgelöst werden, aber wenn man die Kubischen Funktionen und ihre Lösungswege anschaut, dann merkt man, dass dieses "Prinzip" nicht für alle Lösungswege von Polynomen des Grades 1 bis 4 gillt. Meine Frage ist demnach: Gibt es ein (eventuell hochkomplexes) Prinzip/eine Struktur oder so was ähnliches, nach dem die Lösungsformeln für Polynomen vom Grad 1 bis 4 aufgebaut sind?

Danke schon im Vorraus.

Gefragt 14 Nov von emanuelet

2 Antworten

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Du suchst ein Muster für eine Lösungsformel für ganzrationale Polynomfunktionen vom Grade n≤4. Wenn es das gäbe, brauchte man die Lösungsformel von Cardano nicht. Ich bin sicher, dass es das nicht gibt.

Beantwortet 14 Nov von Roland Experte XXVII
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Ein einheitliches Lösungsschema gibt es nicht.

Das Lösen von linearen und qudratische
Gleichungen dürfte dir klar sein.

3. und 4.Grades
Wenn du Glück hast kannst du eine ganzzahlige
Nullstelle durch probieren finden. Dann Polynomdivisionen
durchführen.

Ansonsten Lösung durch z.B. das Newtonverfahren.

Beantwortet 14 Nov von georgborn Experte LXX

Ja ich kenne die Lösungswege der kubischen und quartischen Polynomgleichung schon, wollte aber wissen, ob es ein Prinzip/Muster/Schema gibt, auf dem alle vier Lösungswege der Polynomgleichungen des Grades 1 bis 4 aufgebaut sind.

Nein.Nein.Nein.nein.nein.

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