Normalteiler Untergruppe

Question

ich hänge bei einer Übungsaufgabe, da ich noch Probleme mit dem Beweisen habe.

Aufgabe 3 (Normalteiler)
Sei U⊂G eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G, so dass ord(G) = 2ord(U). Zeigen Sie, dass U⊂G
ein Normalteiler ist.

Laut Definition ist der Normalteiler eine Untergruppe U⊂G, wobei für jedes b∈G und r∈U gilt:

∃ r' ∈ U mit r * b = b * r'

Ich verstehe ehrlich gesagt nicht ganz wie ich das Beweisen soll. Darüberhinaus weiß ich nicht was die Ordnung damit zu tun hat, bzw. warum Informationen darüber angegeben sind.

Vielleicht könnte mir hier jemand den Anfang/Ansatz zeigen, damit ich die Aufgabe lösen kann.

Comments

Suche mal nach dem Satz von Lagrange, dann sollte das etwas klarer werden. Du sollst zeigen, dass Untergruppen mit Index 2 ein Normalteiler sind.

Answer 1

Du kannst auch einfach so vorgehen:

Jede Linksnebenklasse von U bezüglich eines Elementes b ∈ G hat genauso viele Elemente

wie U selbst.  Da  U halb so viele Elemente  wie G hat  und U selbst eine Nebenklasse

(z.B. vom neutralen El.)  ist,  bleibt als einzige andere Möglichkeit  G\U.

Und für die Rechtsnebenklassen gilt das gleiche.

Es gibt also nur zwei verschiedene Nebenklassen, nämlich U und G\U.

1. Fall  b ∈ U . Dann ist zu jedem r  ∈ U  auch r*b  ∈ U  und es ist auch b^-1 ∈ U

und damit auch  b^-1*r * b ∈ U.   Nenne dieses r ' und du hast

                               b^-1*r * b = r '

                       ==>   b*r =b * r ' .

2. Fall b ∉ U . Sei nun   r  ∈ U .  Dann ist auch  b*r nicht aus U

sondern aus der Rechtsnebenklasse von U bzgl. b. Diese ist aber ja gleich

der   Linksnebenklasse von U bzgl. b, also gibt es ein r ' ∈ U mit

                           r*b =  b * r'.

Also gibt es in jedem Fall zu einem b ∈ G und   r  ∈ U immer

ein  r ' ∈ U   mit     r*b =  b * r'.  Also U Normalteiler.