Wie berechnet man diese Deltafunktionen mit endlichen und unendlichen Grenzen?

Question

also beim ersten hätte ich 1 raus. aber bei dem Rest bin ich etwas verwirrt. Ich bin mir allerdings auch nicht sicher, ob ich die Delta Funktionen richtig verstanden habe. 

Comments

Einige Rechenregeln findest du hier:

http://www.mathepedia.de/Eigenschaften_Delta-Distribution_Beispiele.…

Bei a) passt 1 als Ergebnis.

Opps da steht ja x²+1, das hat ja keine Nullstelle in ℝ da kommt dann 0 raus ;)

Answer 1

Hi,
es gilt $$\delta(x^2-\alpha^2) = \frac{1}{2|\alpha|} \left( \delta(x-\alpha)+\delta(x+\alpha) \right)$$ s. https://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution

Zu (1)
$$x^2+1=x^2-i^2$$ damit gilt $$\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x^2+1) dx = \frac{1}{2|i|} \left( \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x-i) dx + \int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x+i) dx \right) = 0$$ wegen 6.4 (i) in http://www.staff.uni-mainz.de/schmidfr/Lehre/MRM2_WS10/mrmtotal.pdf  $i \notin (-\infty \ , \infty)$

Zu (2)
Wegen $x^2 - \frac{\pi^2}{4} = (x-\frac{\pi}{4}) (x+\frac{\pi}{4})$ folgt, das Integral ist $0$ weil der Sinus eine ungerade Funktion ist.

Zu (3)
$$e^x - 1 = 0$$ folgt $x = 0$ also ist das Integral $f(0)$

Zu (4)
Es gilt $\cos(x) = 0$ für $x = \frac{\pi}{2} + k \pi$ Also gilt $\cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) = 0$ für $x = 1 +2k$
Also folgt für das Integral, weil $\frac{x-1}{2} = k$ ist, das gilt $$\sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}$$

Zu (5)
Wegen $$\int_a^b f(x) \delta'(x) dx = -f'(0)$$ folgt
$$\int_{-2}^2 \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) \delta'(x^2-1) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^2 \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) \left[ \delta'(x-1) + \delta'(x+1) \right]dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right] = 0$$