Zeigen Sie, dass für a, b ∈ ℝ mit \Delta:=4 b-a2 0 gilt

Question

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass für $a, b \in \mathbb{R}$ mit $\Delta:=4 b-a^{2}>0$ gilt
$\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+a x+b} \mathrm{~d} x=\frac{2 \pi}{\sqrt{\Delta}}$

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich bin so verzweifelt, ich kann es einfach nicht

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde damit anfangen, eine Stammfunktion zu finden.

Dafür wird der Integrand umgeformt:$$f(x)=\frac{1}{x^2+ax+b}=\frac{1}{\left(x^2+ax+\frac{a^2}{4}\right)+b-\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{\left(x+\frac a2\right)^2+\frac{4b-a^2}{4}}$$

Das sieht verdächtig nach der Arcustangens-Funktion aus, denn:$$\left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^2}$$Dekorieren wir das $x$ noch mit der Verschiebung $\frac a2$ und einer frei wählbaren Konstanten $c\ne0$, folgt aus der Kettenregel:$$\left(\arctan\frac{x+\frac a2}{c}\right)'=\frac{1}{1+\left(\frac{x+\frac a2}{c}\right)^2}\cdot\frac 1c=\frac{c^2}{c^2+\left(x+\frac a2\right)^2}\cdot\frac 1c=\frac{c}{c^2+\left(x+\frac a2\right)^2}$$

Wir wählen $\pink{c\coloneqq\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}}$, um den Integranden $f(x)$ auf diese Form zu bringen:$$f(x)=\frac{1}{\left(x+\frac a2\right)^2+\pink{c^2}}=\frac{1}{\pink c}\cdot\frac{\pink c}{\left(x+\frac a2\right)^2+\pink{c^2}}$$

Damit haben wir die Stammfunktionen $F(x)$ gefunden:$$F(x)=\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)+\text{const}$$

Wegen $\lim\limits_{x\to\pm\frac\pi2}\tan(x)=\pm\infty$ ist $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\arctan(x)=\pm\frac\pi2$ und wir finden:$$\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)-\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)=\frac{\pi}{2\pink c}+\frac{\pi}{2\pink c}=\frac{\pi}{\pink c}$$

Wir setzen noch $\pink{c=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}}$ ein und erhalten$$\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+ax+b}\,dx=\frac{\pi}{\pink{\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{4b-a^2}}$$

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Vielen lieben Dank!!!