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Text erkannt:

Zeigen Sie, dass für a,bR a, b \in \mathbb{R} mit Δ : =4ba2>0 \Delta:=4 b-a^{2}>0 gilt
1x2+ax+b dx=2πΔ \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+a x+b} \mathrm{~d} x=\frac{2 \pi}{\sqrt{\Delta}}

Aufgabe:


Problem/Ansatz:

Ich bin so verzweifelt, ich kann es einfach nicht

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde damit anfangen, eine Stammfunktion zu finden.

Dafür wird der Integrand umgeformt:f(x)=1x2+ax+b=1(x2+ax+a24)+ba24=1(x+a2)2+4ba24f(x)=\frac{1}{x^2+ax+b}=\frac{1}{\left(x^2+ax+\frac{a^2}{4}\right)+b-\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{\left(x+\frac a2\right)^2+\frac{4b-a^2}{4}}

Das sieht verdächtig nach der Arcustangens-Funktion aus, denn:(arctanx)=11+x2\left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^2}Dekorieren wir das xx noch mit der Verschiebung a2\frac a2 und einer frei wählbaren Konstanten c0c\ne0, folgt aus der Kettenregel:(arctanx+a2c)=11+(x+a2c)21c=c2c2+(x+a2)21c=cc2+(x+a2)2\left(\arctan\frac{x+\frac a2}{c}\right)'=\frac{1}{1+\left(\frac{x+\frac a2}{c}\right)^2}\cdot\frac 1c=\frac{c^2}{c^2+\left(x+\frac a2\right)^2}\cdot\frac 1c=\frac{c}{c^2+\left(x+\frac a2\right)^2}

Wir wählen c4ba22\pink{c\coloneqq\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}}, um den Integranden f(x)f(x) auf diese Form zu bringen:f(x)=1(x+a2)2+c2=1cc(x+a2)2+c2f(x)=\frac{1}{\left(x+\frac a2\right)^2+\pink{c^2}}=\frac{1}{\pink c}\cdot\frac{\pink c}{\left(x+\frac a2\right)^2+\pink{c^2}}

Damit haben wir die Stammfunktionen F(x)F(x) gefunden:F(x)=1carctan(x+a2c)+constF(x)=\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)+\text{const}

Wegen limx±π2tan(x)=±\lim\limits_{x\to\pm\frac\pi2}\tan(x)=\pm\infty ist limx±arctan(x)=±π2\lim\limits_{x\to\pm\infty}\arctan(x)=\pm\frac\pi2 und wir finden:f(x)dx=limx1carctan(x+a2c)limx1carctan(x+a2c)=π2c+π2c=πc\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)-\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)=\frac{\pi}{2\pink c}+\frac{\pi}{2\pink c}=\frac{\pi}{\pink c}

Wir setzen noch c=4ba22\pink{c=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}} ein und erhalten1x2+ax+bdx=π4ba22=2π4ba2\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+ax+b}\,dx=\frac{\pi}{\pink{\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{4b-a^2}}

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Vielen lieben Dank!!!

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