Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Ich würde damit anfangen, eine Stammfunktion zu finden.
Dafür wird der Integrand umgeformt:f(x)=x2+ax+b1=(x2+ax+4a2)+b−4a21=(x+2a)2+44b−a21
Das sieht verdächtig nach der Arcustangens-Funktion aus, denn:(arctanx)′=1+x21Dekorieren wir das x noch mit der Verschiebung 2a und einer frei wählbaren Konstanten c=0, folgt aus der Kettenregel:(arctancx+2a)′=1+(cx+2a)21⋅c1=c2+(x+2a)2c2⋅c1=c2+(x+2a)2c
Wir wählen c : =24b−a2, um den Integranden f(x) auf diese Form zu bringen:f(x)=(x+2a)2+c21=c1⋅(x+2a)2+c2c
Damit haben wir die Stammfunktionen F(x) gefunden:F(x)=c1arctan(cx+2a)+const
Wegen x→±2πlimtan(x)=±∞ ist x→±∞limarctan(x)=±2π und wir finden:−∞∫∞f(x)dx=x→∞limc1arctan(cx+2a)−x→−∞limc1arctan(cx+2a)=2cπ+2cπ=cπ
Wir setzen noch c=24b−a2 ein und erhalten−∞∫∞x2+ax+b1dx=24b−a2π=4b−a22π