Folge auf Folgenglied und Konvergenz untersuchen.

Question

Hallo ich muss diese Aufgabe hier beantworten, könnte dies so stimmen?

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Tipp.

Schätze den Term zuerst ab, daher verkleinere den Zähler und vergrößere den Nenner systematisch so, dass sich einiges wegkürzt, stelle dann erst nach ε um.

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Und wie geht das?

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Mmm ich sehe gerade, dass die Aufgabe recht einfach gestaltet ist, sodass sich hier damit keine echte Vereinfachung ergibt, aber gemeint habe ich es so:

$$ \frac{31}{16n-4}<\frac{1}{16n}<\epsilon $$

Generell gilt: wenn du |a_n -a| berechnest muss das eine Nullfolge ergeben, sonst ist a nicht der gesuchte Grenzwert.

Answer 1

Du hast schon in der ersten Zeile einen Fehler beim Addieren der Brüche gemacht.

$$\frac{3n+7}{4n-1} - \frac34 = \frac{\colorbox{#ffcccc}{4}(3n+7)}{\colorbox{#ffcccc}{4}(4n-1)} - \frac{3(4n-1)}{4(4n-1)} =\frac{31}{16n-4}$$

Edit: .. und ich auch aus 29 wird 31 :-(

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Ok, könnte aber die Lösung in der Form richtig sein, also abgesehen von dem Lösungswert

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drei Dinge noch:

1.) In der Aufgabenstellung heißt es 'nicht größer als \(\epsilon\)' - demnach muss die Ungleichung \(... \le \epsilon\) heißen

2.) wenn Du eine Ungleichung mit einem Term wie \(16n-4\) multiplizierst, musst Du sicherstellen, dass dieser \(\gt 0\) ist. Hier reicht es ja zu sagen, dass \(n>0\) ist, dann ist das erfüllt.

3.) Die Lösung wäre \(n \ge \frac14 + \frac{31}{16 \epsilon}\). Und \(n\) ist eine ganze Zahl, der Einsatz der Gaußklammer ist also ok - nur ohne die +1:

$$n = \left \lceil \frac14 + \frac{31}{16 \epsilon} \right \rceil$$

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Bzw. kennt Jeman Musterbeispiele zu solchen Aufgaben, wo es eben nicht nur um die Bestimmungen des Grenzwertes geht?

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@Werner du meinst ohne das +1?

Aber mit dem +1 ist es doch sicher größer?

Bin mir nämlich nicht sicher warum dieses Ergebnis richtig ist, verstehe gerade gar nichts und mache einfach nur

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Es hilft vielleicht, sich das an Hand einiger Beispielwerte klar zu machen. Die Bedingung ist

$$\left| a(N_{\epsilon}) - \frac34\right| \le \epsilon$$

und nun setzt man noch voraus, dass die Folge \(a(n)\) monoton steigend ist, dann gilt auch

$$\left| a(N_{\epsilon}-1) - \frac34\right| \gt \epsilon$$

Denn es heißt in der Aufgabenstellung explizit 'ab dem \(N_{\epsilon}\)-ten Folgeglied'.

Für  \(\epsilon = 0,2\) ist der Term \(\frac14+\frac{31}{16\epsilon}\approx 9,94\). dann ist klar, dass die Bedingung für \(n=10\) erfüllt ist und für \(n=9\) nicht - also ist \(N_{\epsilon}(0,2)=10\). Wenn der obige Term aber genau 10 ergeben würde, so wäre die Bedingung auch erfüllt, da das Delta exakt der Wert von \(\epsilon\) wäre. Daher die Aufrundungsfunktion und man muss nichts mehr hinzufügen.

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Ok klingt logisch bis auf monoton steigend, warum nicht fallend?

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'tschuldigung - Ja natürlich monoton fallend. Und das auch erst für \(n>0\). Will sagen: die Folge bewegt sich monoton auf den Grenzwert zu. Wenn eine alternierende oder schwingende Folge vorliegt, kann es beliebig schwierig werden.

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:) Meine frage war eigentlich was die Monotonie damit zu tun hat und woran man es erkennt:) das mit monoton fallend habe ich bloß gefragt, weil ich nicht wusste in wie fern du auf die Monotonie kommst:)

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Wenn die Bedingung ist, dass alle \(a(n)\) mit \(n \ge N_{\epsilon}\) nicht weiter als \(\epsilon\) vom Grenzwert entfernt sind, so ist es natürlich hilfreich, wenn jedes \(a(n)\) immer ein bißchen näher am Grenzwert liegt, als der Vorgänger \(a(n-1)\). Denn genau dann gibt es eine eindeutige Grenze ab der die Annäherungsbedingung erfüllt ist.

Aber man muss es nicht noch zusätzlich zeigen, da dies ja bereits aus der Gleichung

$$n \ge \left| \frac14 + \frac{31}{16 \epsilon} \right|$$

folgt. Diese Gleichung hat ja für jedes \(\epsilon \gt 0\) eine eindeutige Lösung für das \(n\). D.h. es existiert nur genau ein Intervall für \(n\) und die Gleichheit ist die untere Grenze dieses Intervalls.

Insofern hat die Monotonie der Folge etwas damit zu tun, aber sie folgt daraus und ist nicht Voraussetzung - das habe ich oben vielleicht etwas missverständlich geschrieben.

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Ales klar, nun macht es Sinn.

Also wäre die Lösung N_epsilon (die genannte Lösung-aufgerundet) ?

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Ja - genau. Das ist richtig.

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Super danke, wünsche noch einen angenehmen Tag, bzw. schönes Wochenende