Folge auf Folgenglied und Konvergenz untersuchen.

Question

Hallo ich muss diese Aufgabe hier beantworten, könnte dies so stimmen?

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Tipp.

Schätze den Term zuerst ab, daher verkleinere den Zähler und vergrößere den Nenner systematisch so, dass sich einiges wegkürzt, stelle dann erst nach ε um.

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Und wie geht das?

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Mmm ich sehe gerade, dass die Aufgabe recht einfach gestaltet ist, sodass sich hier damit keine echte Vereinfachung ergibt, aber gemeint habe ich es so:

$$\frac{31}{16n-4}<\frac{1}{16n}<\epsilon$$

Generell gilt: wenn du |a_n -a| berechnest muss das eine Nullfolge ergeben, sonst ist a nicht der gesuchte Grenzwert.

Answer 1

Du hast schon in der ersten Zeile einen Fehler beim Addieren der Brüche gemacht.

$$\frac{3n+7}{4n-1} - \frac34 = \frac{\colorbox{#ffcccc}{4}(3n+7)}{\colorbox{#ffcccc}{4}(4n-1)} - \frac{3(4n-1)}{4(4n-1)} =\frac{31}{16n-4}$$

Edit: .. und ich auch aus 29 wird 31 :-(

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Ok, könnte aber die Lösung in der Form richtig sein, also abgesehen von dem Lösungswert

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drei Dinge noch:

1.) In der Aufgabenstellung heißt es 'nicht größer als $\epsilon$' - demnach muss die Ungleichung $... \le \epsilon$ heißen

2.) wenn Du eine Ungleichung mit einem Term wie $16n-4$ multiplizierst, musst Du sicherstellen, dass dieser $\gt 0$ ist. Hier reicht es ja zu sagen, dass $n>0$ ist, dann ist das erfüllt.

3.) Die Lösung wäre $n \ge \frac14 + \frac{31}{16 \epsilon}$. Und $n$ ist eine ganze Zahl, der Einsatz der Gaußklammer ist also ok - nur ohne die +1:

$$n = \left \lceil \frac14 + \frac{31}{16 \epsilon} \right \rceil$$

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Bzw. kennt Jeman Musterbeispiele zu solchen Aufgaben, wo es eben nicht nur um die Bestimmungen des Grenzwertes geht?

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@Werner du meinst ohne das +1?

Aber mit dem +1 ist es doch sicher größer?

Bin mir nämlich nicht sicher warum dieses Ergebnis richtig ist, verstehe gerade gar nichts und mache einfach nur

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Es hilft vielleicht, sich das an Hand einiger Beispielwerte klar zu machen. Die Bedingung ist

$$\left| a(N_{\epsilon}) - \frac34\right| \le \epsilon$$

und nun setzt man noch voraus, dass die Folge $a(n)$ monoton steigend ist, dann gilt auch

$$\left| a(N_{\epsilon}-1) - \frac34\right| \gt \epsilon$$

Denn es heißt in der Aufgabenstellung explizit 'ab dem $N_{\epsilon}$-ten Folgeglied'.

Für  $\epsilon = 0,2$ ist der Term $\frac14+\frac{31}{16\epsilon}\approx 9,94$. dann ist klar, dass die Bedingung für $n=10$ erfüllt ist und für $n=9$ nicht - also ist $N_{\epsilon}(0,2)=10$. Wenn der obige Term aber genau 10 ergeben würde, so wäre die Bedingung auch erfüllt, da das Delta exakt der Wert von $\epsilon$ wäre. Daher die Aufrundungsfunktion und man muss nichts mehr hinzufügen.

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Ok klingt logisch bis auf monoton steigend, warum nicht fallend?

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'tschuldigung - Ja natürlich monoton fallend. Und das auch erst für $n>0$. Will sagen: die Folge bewegt sich monoton auf den Grenzwert zu. Wenn eine alternierende oder schwingende Folge vorliegt, kann es beliebig schwierig werden.

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:) Meine frage war eigentlich was die Monotonie damit zu tun hat und woran man es erkennt:) das mit monoton fallend habe ich bloß gefragt, weil ich nicht wusste in wie fern du auf die Monotonie kommst:)

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Wenn die Bedingung ist, dass alle $a(n)$ mit $n \ge N_{\epsilon}$ nicht weiter als $\epsilon$ vom Grenzwert entfernt sind, so ist es natürlich hilfreich, wenn jedes $a(n)$ immer ein bißchen näher am Grenzwert liegt, als der Vorgänger $a(n-1)$. Denn genau dann gibt es eine eindeutige Grenze ab der die Annäherungsbedingung erfüllt ist.

Aber man muss es nicht noch zusätzlich zeigen, da dies ja bereits aus der Gleichung

$$n \ge \left| \frac14 + \frac{31}{16 \epsilon} \right|$$

folgt. Diese Gleichung hat ja für jedes $\epsilon \gt 0$ eine eindeutige Lösung für das $n$. D.h. es existiert nur genau ein Intervall für $n$ und die Gleichheit ist die untere Grenze dieses Intervalls.

Insofern hat die Monotonie der Folge etwas damit zu tun, aber sie folgt daraus und ist nicht Voraussetzung - das habe ich oben vielleicht etwas missverständlich geschrieben.

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Ales klar, nun macht es Sinn.

Also wäre die Lösung N_epsilon (die genannte Lösung-aufgerundet) ?

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Ja - genau. Das ist richtig.

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Super danke, wünsche noch einen angenehmen Tag, bzw. schönes Wochenende