vor langer Zeit gab es die folgende Aufgabe von Thilo hier im Forum. Dazu meine Lösung weiter unten. Ob meine Lösung richtig ist, würde ich gerne von euch erfahren :)
Aufgabe von Thilo:
Beweise, dass das Produkt aus zwei geraden natürlichen Zahlen m, n immer durch 4 teilbar ist.
Meine Lösung:
m=2x
n=2y
m⋅n=2x⋅2y=4⋅(xy)
Also ist 4⋅(xy) offensichtlich durch 4 teilbar. Deshalb gilt die Aussage.
Beweis per vollständiger Induktion:
Wenn wir die Aussage per vollständiger Induktion beweisen wollen, müssen wir doch den Beweis zwei mal ausführen, einmal für m und einmal für n, denn die beiden Variablen sind ja unabhängig voneinander, oder?
Mein Versuch zu vollständiger Induktion für die Variable m:
Induktionsanfang:
Induktionsvoraussetzung:
Seien m : =2x und n : =2y mit x,y∈N
Für eine gerade Zahl m>=0 gelte: 4∣m⋅n.
Behauptung: Die Aussage gilt für m=0
Beweis: m⋅n=0⋅n=0
0 teilt jede Zahl, insbesondere auch die 4. Deshalb gilt die Aussage für m=0.
Induktionsschritt:
Induktionsbehauptung:
Dann gilt die Aussage auch für m+2.
Beweis:
(m+2)⋅n=(2x+2)⋅n=2x⋅n+2⋅n=2x⋅2y+2⋅2y=4xy+4y=4⋅(xy+y)
Die Gleichung ist offensichtlich durch 4 teilbar. Also gilt die Aussage auch für m+2.
Ist der Beweis so richtig?
Ich habe aber nirgends die Induktionsvoraussetzung in meinem Beweis verwendet – geht das?
Liebe Grüße
Asg
PS: $$ bewirkt unnötigen Zeilenumbruch. Kann man es denn irgendwie abstellen?