Dimension der Unterräume von Polynomen

Question

gegeben ist mit $$      \mathbb{R}[x_1,...,x_m] $$ der Vektorraum aller Polynome in Variablen $$      x_1,...,x_m $$ mit reellen Koeffizienten. Zu bestimmen sind:

1) die Dimension des Unterraums aller homogenen Polynome vom Grad k,

2) die Dimension des Unterraums $$      \mathbb{R}[x_1,...,x_m]_\leq k $$ aller Polynome vom Grad höchstens k.

Wie geht man hier vor? Ich hätte hier ein Gleichungssystem aufgestellt, aber wüsste nicht wie ich es ohne konkrete Werte machen soll. Oder geht es hier anders?

Gruß

Comments

Bei den homogenen Polynomen haben ja alle Monome den gleichen Totalgrad.

siehe auch:   https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom#Polynome_in_mehreren_Unbestimmten

Also wenn man das z.B mal für zwei Variable mit den homogenen Polynomen vom Grad 3 macht

braucht man   x³ , xy² , x²y , y³ .   Und hat somit dim = 4

Allgemein mit n-Variablen und Grad k sind die Monome durch die Exponenten bei den Variablen

charakterisiert und man muss beachten, dass Exponenten alle aus dem Bereich 0 bis k sind

und die Summe immer k ergibt.  Es geht also letztlich um die Frage: Wieviel n-Tupel

aus  {0,1,...,k}ⁿ gibt es, bei denen die Summe der Komponenten gleich k ist ?

Nehmen wir sie vielleicht zuerst mal geordnet , dass immer die nächste Komponente

größer oder gleich der vorigen ist, dann muss man hinterher nur noch mit n! multiplizieren.