Auf Untervektorraum überprüfen

Question

Wie man auf UVR prüft, habe ich mir schon gut eingeprägt und weiss mittlerweile, dass die 3 Eigenschaften erfüllt sein sollen. Der Nullvektor muss im UVR enthalten sein und sowohl multiplikativ als auch additiv muss der UVR abgeschlossen sein. Das heißt also ich komme aus dem Untervektorraum nicht mehr raus. Das soll also bedeuten, dass die Dimension nur kleiner werden kann.

Wenn ich mir jetzt a anschaue bekomme ich dir Krise. Warum steht da auf einmal Q^2 als Q Vektorraum? Und was kann ich mit der Eigenschaft x+z = 0 anfangen und wieso steht da ein z und kein y. Ich bin doch im zweidimensionalen- Raum also wieso wird der Buchstabe y übersprungen?

Kann mir jemand helfen wie ich da vorgehen soll? Mich irritieren vor allem die unterschiedlichen Körper und die quadrate in den Gleichungen.

MfG

Comments

Ich habe mir schon ein paar Überlegungen gemacht.

zu a)Angenommen die Vektoren (x;z) kämen aus ℝ²:Dann wäre doch die Menge in a) ein Untervektorraum, denn die Eigenschaft wäre ja die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Da jede Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ein Unterraum ist, wäre ich eigentlich fertig. Nun kommen die Vektoren aber nicht aus ℝ², sondern aus ℚ². Welche Auswirkung hat das nun auf die Eigenschaft, dass x+z = 0 ist? 
zu c) Ist kein Untervektorraum. Da quadrate in der Gleichung stehen kann es sich folglich nicht um einen UVR handeln. 
zu d) Es gibt den Nullvektor in U4, d.h. die Menge U₄ ist nicht-leer. Der Nullvektor erfüllt nämlich die Bedingung, dass die erste bzw. dritte Komponente geich Null sind. Und das ist ja der Fall.Jetzt muss ich ja noch auf Abgeschlossenheit bei der Addition prüfen.Sind bspw. a und b ∈ U₄ . Dann gilt ja: für alle a,b ∈ U₄ muss auch gelten, dass a+b ∈ U₄ ist.Ich glaube man muss hier dann eine Fallunterscheidung machen oder? Ich betrachte jetzt mal, dass die erste Koordinate Null ist. Dann ist der Vektor a=(0;a₂;a₃) und b analog mit b=(0;b2;b3).a+b = ((0+0);(a2+b2);(a3+b3))=((0);(a2+b2);(a3+b3)) ist ebenfalls wieder in U4, da die erste Koordinate Null ist.
Ich würde jetzt den Rest so ähnlich machen, also noch den Fall betrachten, dass z=0 ist und auch da schauen ob a+b in U4 liegt. Danach würde ich auf Abgeschlossenheit der Multiplikation überprüfen und auch da eine Fallunterscheidung machen, was vermutlich so ähnlich aussieht.Bevor ich das mache würde ich gerne wissen, ob das überhaupt so richtig ist oder ich komplett falsch rangegangen bin.

Answer 1

> Warum steht da auf einmal Q² als Q Vektorraum?

Weil diese Angaben wichtig sind. "⊆ ℚ²" soll andeuten, dass du prüfen sollst ob

        { (x y)^T ∈  ℚ² | x + y = 0 }

ein Untervektorraum von ℚ² ist. "als Q Vektorraum" bedeuten, dass ℚ als Körper zugrunde gelegt wird, dass also  die Skalare für die skalare Multiplikation aus ℚ stammen. Das ist dermaßen üblich, dass es normalerweise nicht erwähnt wird. Außer man hat, wie in deinem Fall, mit unterschiedlichen Körpern zu tun; dann sollte man es erwähnen.

> Und was kann ich mit der Eigenschaft x+z = 0 anfangen

Man kann zwei Vektoren v = (v₁ v₂)^T und w = (w₁ w₂)^T aus { (x y)^T ∈  ℚ² | x + y = 0 } nehmen, und prüfen ob deren Summe v+w ebenfalls die Bedingung erfüllt, dass die Summe aus erster und zweiter Komponente Null ergibt.

> und wieso steht da ein z und kein y.

Weil der Autor der Aufgabe das so wollte. { (x y)^T ∈  ℚ² | x + y = 0 } ist die Menge der Vektoren aus ℚ², deren Komponenten in einer bestimmten Beziehung zueinander stehen. Um diese Beziehung beschreiben zu können, brauchen die Komponenten Namen. Der Autor hat sich entschieden, die Namen x und z zu verwenden. Das darf er, du solltest dich von dieser etwas eingenwilligen Namenswahl nicht aus der Ruhe bringen lassen.

> Da jede Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ein Unterraum ist, wäre ich eigentlich fertig.

Sieht gut aus.

> Nun kommen die Vektoren aber nicht aus ℝ², sondern aus ℚ².

Hast du auf dem Lösungsweg des linearen Gleichungssystems irgendwelche Eigenschaften von ℝ verwendet, die in ℚ nicht gelten? Zut Erinnerung, beides sind angeordnete Körper. Unterschied ist, dass ℝ vollständig ist. Mit anderen Worten, braucht man die Vollständgkeit, um lineare Gleichungssysteme zu lösen?

> Da quadrate in der Gleichung stehen kann es sich folglich nicht um einen UVR handeln.

Du hast recht, es handelt sich nicht um einen UVR. Deine Begründung ist aber etwas mager. Zum Beispiel ist { (x y)^T ∈ ℝ² | x² = 0 } ein UVR von ℝ² und da stehen auch Quadrate in der Gleichung. Argumentiere stattdessen mit der Abgeschlossenheit: Gib konkrete

        v = (v₁ v₂)^T, w = (w₁ w₂)^T ∈ { (x y)^T ∈ ℝ² | x² + y² = 0 }

an, so dass v+w ∉ { (x y)^T ∈ ℝ² | x² + y² = 0 } ist.