Dreifachintegral mit exponentieller Dichte

Question

möchte am Ende die Kugelmasse berechnen. Habe Dichte gegeben mit e^{-3^r} und will mit Dreifachintegral und Kugelkoordinaten nun berechnen. Siehe Bild.

Meine Frage: wie gehe ich mit dem Term e^{-3^r}  um? Dreifachintegralberechnung im Generellen ist mit r bekannt, aber ich weiß nicht mit dem e-term umzugehen!

Vielen Dank für jede Hilfe

Comments

Im Text ist r mit 3 verwechselt! Gefragt ist wie im Bild richtig: e^{-r^3}

---

Vom Duplikat:

Titel: Dreifachintegral. Ist bis hierhin ein Fehler drin?

Stichworte: dreifach,integral

siehe Bild. Ich vermute, dass ich mindestens einen Fehler gemacht habe, da meine anderen gegebenen Aufgabenlösungswege nie so lang waren.. Kann mir jemand sagen, wo es falsch ist?

---

Hi
Der erste, lange Teil ist selbst mit einem Grafikprogramm bei Vergrößerung kaum bis gar nicht lesbar.

---

Entschuldigung, auf dem Smartphone war es bei mir gut zu lesen. Hier noch einmal in groß.

---

Ich nehme an, dass sich das hier vor einiger Zeit erledigt hat.

In https://www.mathelounge.de/495613/dreifachintegral-mit-exponentielle… hast du glaub ich das Wichtigste ausdiskutiert (?). 

Answer 1

substituiere -r³=z um das Integral über r aufzulösen.

Die anderen beiden Integrale sind standard

und geben den vollen Raumwinkel 4π.

Comments

Danke. Ich wir hatten noch generell einen Tipp bekommen: siehe Bild. Kann man das hier auf die Aufgabe auch irgendwie übertragen? Also statt 2 im Exponenten bei r eine 3? 

---

Nein das bringt hier nix. Im Bild wird erstens mit Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten verarbeitet, bei deiner Aufgabe werden allerdings Kugelkoordinaten verwendet. Des weiteren ist im Bild nicht bekannt, was G ist und die Schwierigkeit besteht in der Darstellung der Integralgrenzen.

Die einzige Gemeinsamkeit ist Substitution.  Man verwendet immer das Koordinatensystem mit der passenden Symmetrie.

Falls du Hilfe bei der Substitution brauchst melde dich nochmal.

---

Mir ist nicht klar, wann ich substituieren kann, vor allem wann ich rücksubstituieren muss und ob ich e^z dann vor das r-integral ziehen muss, da ja jetzt kein r mehr im e-term vorkommt..

---

Siehe Bild für Anfang. Habe statt z Q gewählt. Wie geht's jetzt weiter?

---

Im wesentlichen geht es ja um folgendes Integral:

$$\int_{0}^{R}e^{-r^3}r^2dr\\$$
Die anderen Faktoren kannst du vor das r Integral rausziehen, da sie dort konstant sind. Zur Substitution gehören folgende Schritte:

1) Suche dir einen Term den du durch Substitution vereinfacht darstellen möchtest, hast du schon gemacht : -r³=q

2)Transformiere das Differential: wenn du über die neue Variable q integrieren möchtest, so brauchst im Integral anstelle von dr irgendwas mit dq. Um dq zu erhalten leitet man die Subtstitutionsvorschrift ab:

$$\int_{0}^{R}e^{-r^3}r^2dr\\ -r^3=q\\\frac{dq}{dr}=-3r^2\\-\frac{dq}{3r^2}=dr$$

3) Die Grenzen sind entsprechend der Substitutionsvorschrift zu transformieren:

r beginnt bei 0, -0³=q1 also startet q auch bei 0.

r endet bei R , also ist -R³=q2  , die neue obere Grenze lautet -R³

4) Setze alles in das Integral ein :$$\int_{0}^{R}e^{-r^3}r^2dr\\= -\int_{0}^{-R^3}e^{q}r^2\frac{dq}{3r^2}\\= -\frac{1}{3}\int_{0}^{-R^3}e^{q}dq=-\frac{1}{3}[e^{-R^3}-1]$$