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Aufgabe: Der abgebildete Körper (Zylinder) besitzt eine Dichte, die durch die Dichtefunktion
\( \varrho(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+2 z \)
gegeben ist.

Bestimmen Sie mithilfe Zylinderkoordinaten die Masse \( M \) des Körpers!



Problem/Ansatz:

von

Wie genau liegt der Zylinder im Koordinatensystem? Ist der Ursprung das Zentrum des Zylinders?

nein der Zylinder ist weiter oben von der Mitte also in z


LG

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Nachdem nun in den Kommentaren endlich klar geworden ist, wie der Zylinder im Koordinatensystem positioniert ist, habe ich die Antwort nochmal überarbeitet. Wegen der Skizze können wir nun die Integrationsintervalle konkretisieren:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[3;5]$$

Die Masse \(M\) des Zylinders mit der gegebenen Dichte \(\rho(x,y,z)\) erhalten wir, indem wir für jeden Punkt \(\vec r\) des Zylinders die infinitesimale Masse \(dm=\rho(x,y,z)\,dV\) addieren:$$M=\int\limits_V\rho(x;y;z)\,dV$$

Beim Übergang zu Zylinerkoordinaten müssen wir in \(\rho(x;y;z)\) die kartesischen Koordinaten durch die Koordinaten unseres Ortsvektors \(\vec r\) ersetzen:$$\rho(x;y;z)=2x^2+2y^2+2z=2(r\cos\varphi)^2+2(r\sin\varphi)^2+2z=2r^2+2z$$und beachten, dass das Volumenelement \(dV\) verzerrt wird:$$dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$In Zylinderkoordinaten formuliert lautet das zu berechnende Integral daher:

$$M=\int\limits_{r=0}^1\,\int\limits_{z=3}^5\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(2r^2+2z\right)\,r\,dr\,d\varphi\,dz=2\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^1\,\int\limits_{z=3}^5\left(r^3+rz\right)\,dr\,dz$$$$\phantom{M}=2\cdot2\pi\int\limits_{0}^1\left[r^3z+\frac{rz^2}{2}\right]_{z=3}^5dr=4\pi\int\limits_0^1\left(5r^3+\frac{25}{2}r-3r^3-\frac{9}{2}r\right)dr$$$$\phantom{M}=4\pi\int\limits_0^1\left(2r^3+8r\right)dr=4\pi\cdot\frac{9}{2}=18\pi$$

von 79 k 🚀

Schöne Erklärung im Detail !

Danke erstmal aber die Antwort muss M=28pi sein.

ich habe auch selbst gelöst aber auch war andere Antwort.

das Zylinders steht nur auf der (z) Ebene und y und x frei.


LG

Ich kann mein Ergebnis nicht weiter ausrechen, da du uns bisher nicht verraten hast, welche Zahlenwerte die Höhe \(H\) und der Radius \(R\) des Zylinders haben.

Das Problem ist, dass ich das Bild hier nicht posten kann, ich weiß nicht warum
Es kommt auf das Bild an.
Kann ich es an deine Mail schicken ?


LG

Also brauche ich nur die E-Mail um das Bild zu schicken.

und danach können Sie bitte mir hier helfen.


LG

Hallo

Tschaka.. hat dir doch alles geliefert, aus deinem Bild H und R einzusetzen muss dir doch wohl möglich sein?

lul

Leider es war falsch.

das Zylinders steht nur auf der (z) Ebene und nicht y und x und die Antwort muss 18pi sein.Deswegen hoffe ich ,dass mir helfen.


Lg

martin

Hallo

mit z Ebene meinst du die z=0 Ebene?

dann ist doch H die Höhe und R der Radius des Zylinders, wie groß sind die denn?

man kann einen Zylinder auch leicht beschreiben: gib seine Höhe und seinen Radius an.

lul

H die Höhe 2

D Durchmesser besteht aus 2 Punkte oben 5 und unten 3

Zylinders befindet sich in koordinaten Z

ja leicht beschreibe aber ich konnte gar nicht verstehen.


LG

Ich fürchte, der "Zylinder" ist in Wirklichkeit kegelförmig. Ich werde aus der Beschreibung nicht wirklich schlau. Du kannst das Bild einfach mit Copy-Paste hier einfügen.

Es ist normal Zylinder, nicht kegelförmig.
Ich habe den Link zum Bild gepostet.
Das Problem ist, dass ich nicht verstehe was 3 und 5 sind.
Es ist mir zu kompliziert.


LG

Jetzt wo du das Bild gepostet hast, konnte ich meine Antwort nochmal überarbeiten. Jetzt kommt auch \(18\pi\) raus ;)

hahah endlich genau

ja das ist die Richtige Antwort.

könnten sie die lösung hier auch schreiben.


LG

Hallo jemand da ???


LG

Danke Sehr Tschakabumba  ❤️

Die Lösung habe ich in meine Antwort geschrieben ;)

Ich brauche deine Hilfe, ich habe niemanden außer dir please!


LG

Martin

Letzte Hilfe von dir, König der Mathematik und danach fertig hahah


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Hallo

ein Zylinder mit der z- Achse als Achse hat die Darstellung

(rcos(t),rsin(t),z)  f(x,y,z) ist dann  f(r,t,z)=2r^2+2z, dV=rdt*dr*dz

deine Integralgrenzen : t von 0 bis 2pi, r  von 0 bis R (gegeben) z von 0 bis h oder entsprechend, wenn der Zylinder nicht bei z=0 anfängt.

von 65 k 🚀

Hi ,

wie kann man so etwas lösen ?

3 integral in gleichzeitig oder


LG

keine Rückmeldung!

also ist schwer für Sie auch oder ?


LG

Hallo

nicht schwer, 3 Integrale ineinander bzw. hintereinander muss man halt eins nach dem anderen ausführen. Aber Tschaika hat dir das doch ganz genau vorgemacht?

lul

ah sry Ich habe einen Kommentar an der falschen Stelle abgegeben.
Das ist nicht die Frage, sondern die Frage DGL.

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