Funktionenschar und Wendepunkte fa(x)= (x-2)*e0,5ax

Question

gegeben ist die Funktionenschar fa(x)= (x-2)*e^0,5ax. Die Frage ist: Für welchen Wert von a hat der Graph den Wendepunkt W(-1,2/-1,5116)? Würde mich über ein Antwort sehr freuen, weil ich da leider nicht weiter weiß. 

LG

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Umstellungen Logarithmieren

Stichworte: umstellen,logarithmus

f(−1,2)=(−1,2−2)ea2(−1,2)=−1,5116f12122ea21215116ea2(−1,2)=−1,5116−3,2=0,472375ea21215116320472375

Logarithmieren

−0,6a≈−0,7499806a074998
a≈1,24997

Hallo ich habe eine Frage, wie kommt man auf diese Umstellungen, wie kommt z.b. die 0,472375 da aufeinmal hin?LG

---

Hi

Man kommt wohl auf "diese" Umstellungen, wenn man die Aufgabe lesen kann, was bei deiner Fragestellung selbst Dechiffrierexperten schwer fallen dürfte.

---

Ich hoffe deine Frage konnte dir unter

https://www.mathelounge.de/497276/funktionenschar-und-wendepunkte

beantwortet werden.
Ansonsten nachfragen.

Answer 1

Die Aufgabe ist überbestimmt. D.h. sie enthält mehr Angaben, als zur Lösung notwendig sind. Man könnte entweder fragen: Wie groß muss $a$ sein, damit $f(-1,2)=-1,5576$ ist? oder man fragt: wie groß muss $a$ sein, damit der Wendepunkt bei $x=-1,2$ liegt.

Ich nehme mal letzteres als die eigentliche Aufgabe. Die Bedingung für den Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle =0 sein muss. Ableitungen bildet man hier mit der Produktregel.

$$f(x) = (x-2) e^{\frac{a}{2}x}$$

Ist $u(x)=x-2$ und $v(x)= e^{\frac{a}{2}x}$, so ist $u'(x)=1$ und $v'(x)=\frac{a}{2} e^{\frac{a}{2}x}$. Letzteres habe ich nach der Kettenregel abgeleitet. also ist

$$f'(x) = 1 \cdot e^{\frac{a}{2}x} + (x-2) \cdot \frac{a}{2} e^{\frac{a}{2}x} = (\frac{a}{2}x + (1-a))e^{\frac{a}{2}x}$$

nochmal Ableiten - nach der Produkt- und der Kettenregel - gibt:

$$\begin{aligned} f''(x) &= \frac{a}{2} e^{\frac{a}{2}x} + (\frac{a}{2}x + (1-a)) \frac{a}{2} e^{\frac{a}{2}x} \\ &= \frac{a}{2} (\frac{a}{2}x + (2-a)) e^{\frac{a}{2}x} \end{aligned}$$

Dieser Ausdruck soll für $f''(-1,2)=0$ sein. Das ist z.B. der Fall, wenn $a=0$ ist, aber dann ist der Funktionswert nicht $-1,5576$ (so gesehen, war die Aufgabenstellung nicht so ganz überbestimmt). Da $e^{\frac{a}{2}x}$ nie 0 werden kann bleibt nur noch der Faktor

$$\frac{a}{2}(x=-1,2) + (2-a)=0$$

Ein paar Umformungen

$$-\frac{3}{5} a + 2 -a = 0$$

$$2 = \frac85 a$$

$$a = \frac54 = 1,25$$

Jetzt ist auch $f(x=-1,2) \approx -1,5116$. ... und das ganze nochmal im Bild:

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x-2)·exp(0,625x)P(-1,2|-1,5116)

Gruß Werner

Comments

Wenn Du einfach die gegebenen Werte einsetzt, dann erhält man

$$f(-1,2) = (-1,2 - 2) e^{\frac{a}{2}(-1,2)} = -1,5116$$

$$e^{\frac{a}{2}(-1,2)} = \frac{-1,5116}{-3,2}= 0,472375$$

Logarithmieren

$$-0,6 a \approx -0,74998$$

$$a \approx 1,24997$$

das Ergebnis ist natürlich ungenau, da der Eingangswert $-1,5116$ nicht exakt ist, bzw. nicht exakt sein kann. Jetzt müsste man noch belegen, dass dort auch der Wendepunkt ist.

---

!

Answer 2

fa(x)= (x-2)*e^0,5ax
(-1,2/-1,5116)

Du setzt einfach die Werte in die Funktion ein und
bekommst a = 1.25 heraus.
Jetzt zeigst du das für f _1.25 ( x )  die 2.Ableitung
an der Stelle x = -1.2 null ist. Dies ist der Fall.
Der Punkt ist ein Wendepunkt.

Comments

Danke für den Rechenansatz! Kannst du das vielleicht einsetzen und zeigen wie du das nach a auflöst?     

---

fa(x)= (x-2)*e^0,5ax
(-1,2/-1,5116)

f ( x ) = ( x - 2 ) * e^0.5*a*x
f ( -1.2 ) = ( -1.2 - 2 ) * e^0.5*a*-1.2 = -1.5116
( -1.2 - 2 ) * e^0.5*a*-1.2 = -1.5116
-3.2 * e^0.5*a*-1.2 = -1.5116
e^0.5*a*-1.2 = 0.472375  | ln ( )
0.5 * a * (-1.2 ) = -0.75
a = 1.25

Bei Nachfragen bitte wieder melden.