Cauchyprodukt konvergente Reihe Wert berechnen

Question

Hallo allerseits :)

ich stehe vor folgender Aufgabe:

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { d }_{ n } } =\quad (\sum _{ j=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ j } } } )\quad *\quad (\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 3^{ k } } } )$$

Man soll den Wert der Reihe angeben und die Cauchysche Produktreihe bestimmen.

Mein Ansatz war jetzt:

$${ d }_{ n }=\quad (\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k } } } *\quad \frac { 1 }{ { 3 }^{ n-k } } )\quad =\quad (\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k }*{ 3 }^{ n-k } } } )\quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ (\frac { 1 }{ 2 } } { ) }^{ k }*(\frac { 1 }{ 3 } { ) }^{ n-k }$$

Aber ich weiß jetzt nicht mehr, wie ich weitermachen kann und bin für jede Hilfe dankbar

Comments

Unter der ersten Summe ist n eine Konstante. Du kannst daher (1/3)ⁿ davor ziehen. Den Rest überführst die in die Form einer geometrischen Reihe.

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welche (1/3)ⁿ meinst du genau? Ich sehe nur (1/3)^n-k

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(1/3)^n-k=(1/3)ⁿ *3^k

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hmm wenn ich dann (1/3)ⁿ vorziehe habe ich in der summe (1/2)^k * 3^k stehen, wonach die reihe divergieren würde? stehe gerade ziemlich auf dem schlauch

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geometrische Reihe funktioniert nur für |q|<1 oder?

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geometrische Reihe funktioniert nur für |q|<1 oder? 

Ich würde den Wert der Reihe bereits mit der ersten Zeile bestimmen. Dann ist einmal q = 1/2 und dann q= 1/3 . Beide sind betragsmässig kleiner als 1. 

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ja, das habe ich mir auch schon gedacht! Allerdings steht in der Aufgabenstellung man soll "die cauchysche Produktreihe bestimmen", was für mich bedeute, ich soll den wert auf diese weise ermitteln

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Die Reihe läuft von k=0 bis n. Über Konvergenz brauchst du du dir daher keine Gedanken machen, das ist eine endliche Summe. Es gibt eine geometrische Summenformel

Summe (k=0 bis n ) q^k =...

Diese gilt auch für |q|>1.

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okay danke euch :) ich muss jetzt erstmal in die uni und schau es mir später nochmal an und melde mich dann :)

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie die Cauchysche Produktreihe

Stichworte: cauchy,produkt,periode

Bestimmen Sie die Cauchysche Produktreihe

Welchen Wert hat die Produktreihe?

Answer 1

so habe ich das gemeint mit der Rechnung:

$$\sum _{ k=0 }^{ n }{ (\frac { 1 }{ 2 } } { ) }^{ k }*(\frac { 1 }{ 3 } { ) }^{ n-k }\\=(\frac{1}{3})^n\sum_{k=0}^{n}{(\frac{3}{2})^k} \\=(\frac{1}{3})^n*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=(\frac{1}{3})^n*\frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}}{1-(\frac{3}{2})}\\=-2(\frac{1}{3})^n*\frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}}{1}\\=-2[(\frac{1}{3})^n-\frac{3}{2}(\frac{1}{2})^n)=-2(\frac{1}{3})^n+3(\frac{1}{2})^n\\$$

Somit ergibt sich für die gesuchte Summe:

$$-2(\frac{1}{3})^n+3(\frac{1}{2})^n\\\\\sum_{n=0}^{\infty}{d_n}=\sum_{n=0}^{\infty}-2(\frac{1}{3})^n+3(\frac{1}{2})^n\\=-2\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^n+3\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^n\\=-3+6=3$$

Comments

ah danke nochmal :) so ist es für mich gut nachvollziehbar

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Falls jemand Lust dazu hat :

Man löse den folgenden scheinbaren Widerspruch auf :

Das anfängliche Produkt ist offensichtlich invariant gegenüber Vertauschung von 2 und 3. Der Term für d_n ist das aber nicht, sondern geht in -d_n über.
Ist das nicht paradox ?

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Wie kommst du auf das - ?

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Wenn man in d_n = -2*(1/3)ⁿ + 3*(1/2)ⁿ   die 2 und die 3 vertauscht, dann erhält man doch  -3*(1/2)ⁿ + 2*(1/3)ⁿ  also das Entgegengesetzte.

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Achso meinst du das. Die 2en und 3en am Anfang entsprechen wohl nicht mehr den 2en und 3en im Endergebnis. Das da gerade ein Minus hervorkommt ist wohl bloß Zufall ;)

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Ja, so etwa, deshalb sprach ich ja von einem scheinbaren Widerspruch.

Die Überlegung unterschlägt, dass im Nenner von d_n noch ein 3-2 steht, was beim Vertauschen zu -1 wird und somit für die notwendige Kompensation sorgt.