Cauchyprodukt konvergente Reihe Wert berechnen

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Hallo allerseits :)

ich stehe vor folgender Aufgabe:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { d }_{ n } } =\quad (\sum _{ j=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ j } }  } )\quad *\quad (\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 3^{ k } }  } ) $$

Man soll den Wert der Reihe angeben und die Cauchysche Produktreihe bestimmen.

Mein Ansatz war jetzt:

$$ { d }_{ n }=\quad (\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k } }  } *\quad \frac { 1 }{ { 3 }^{ n-k } } )\quad =\quad (\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k }*{ 3 }^{ n-k } }  } )\quad =\quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ (\frac { 1 }{ 2 }  } { ) }^{ k }*(\frac { 1 }{ 3 } { ) }^{ n-k } $$

Aber ich weiß jetzt nicht mehr, wie ich weitermachen kann und bin für jede Hilfe dankbar

Gefragt vor 6 Tagen von colombo

Unter der ersten Summe ist n eine Konstante. Du kannst daher (1/3)^n davor ziehen. Den Rest überführst die in die Form einer geometrischen Reihe.

welche (1/3)n meinst du genau? Ich sehe nur (1/3)n-k

(1/3)^(n-k)=(1/3)^n *3^k

hmm wenn ich dann (1/3)n vorziehe habe ich in der summe (1/2)k * 3k stehen, wonach die reihe divergieren würde? stehe gerade ziemlich auf dem schlauch

geometrische Reihe funktioniert nur für |q|<1 oder?

geometrische Reihe funktioniert nur für |q|<1 oder? 

Ich würde den Wert der Reihe bereits mit der ersten Zeile bestimmen. Dann ist einmal q = 1/2 und dann q= 1/3 . Beide sind betragsmässig kleiner als 1. 

ja, das habe ich mir auch schon gedacht! Allerdings steht in der Aufgabenstellung man soll "die cauchysche Produktreihe bestimmen", was für mich bedeute, ich soll den wert auf diese weise ermitteln

Die Reihe läuft von k=0 bis n. Über Konvergenz brauchst du du dir daher keine Gedanken machen, das ist eine endliche Summe. Es gibt eine geometrische Summenformel 

Summe (k=0 bis n ) q^k =...

Diese gilt auch für |q|>1.

okay danke euch :) ich muss jetzt erstmal in die uni und schau es mir später nochmal an und melde mich dann :)

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Beste Antwort

Hallo,

so habe ich das gemeint mit der Rechnung:

$$ \sum _{ k=0 }^{ n }{ (\frac { 1 }{ 2 }  } { ) }^{ k }*(\frac { 1 }{ 3 } { ) }^{ n-k }\\=(\frac{1}{3})^n\sum_{k=0}^{n}{(\frac{3}{2})^k} \\=(\frac{1}{3})^n*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=(\frac{1}{3})^n*\frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}}{1-(\frac{3}{2})}\\=-2(\frac{1}{3})^n*\frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}}{1}\\=-2[(\frac{1}{3})^n-\frac{3}{2}(\frac{1}{2})^n)=-2(\frac{1}{3})^n+3(\frac{1}{2})^n\\$$

Somit ergibt sich für die gesuchte Summe:

$$-2(\frac{1}{3})^n+3(\frac{1}{2})^n\\\\\sum_{n=0}^{\infty}{d_n}=\sum_{n=0}^{\infty}-2(\frac{1}{3})^n+3(\frac{1}{2})^n\\=-2\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^n+3\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^n\\=-3+6=3$$

Beantwortet vor 6 Tagen von Gast jc2144 20 k

ah danke nochmal :) so ist es für mich gut nachvollziehbar

Falls jemand Lust dazu hat :

Man löse den folgenden scheinbaren Widerspruch auf :

Das anfängliche Produkt ist offensichtlich invariant gegenüber Vertauschung von 2 und 3. Der Term für dn ist das aber nicht, sondern geht in -dn über.
Ist das nicht paradox ?

Wie kommst du auf das - ?

Wenn man in dn = -2*(1/3)^n + 3*(1/2)^n   die 2 und die 3 vertauscht, dann erhält man doch  -3*(1/2)^n + 2*(1/3)^n  also das Entgegengesetzte.

Achso meinst du das. Die 2en und 3en am Anfang entsprechen wohl nicht mehr den 2en und 3en im Endergebnis. Das da gerade ein Minus hervorkommt ist wohl bloß Zufall ;)

Ja, so etwa, deshalb sprach ich ja von einem scheinbaren Widerspruch.

Die Überlegung unterschlägt, dass im Nenner von dn noch ein 3-2 steht, was beim Vertauschen zu -1 wird und somit für die notwendige Kompensation sorgt.

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