quadratische Form und Determinante symmetrischer Matrizen , Bilinearform

Question

Folgende Aufgabenstellung:

Ich habe einige Probleme mit der Aufgabe. Vielleicht ist deswegen die ganze Aufgabe falsch. In meinen Unterlagen steht dass eine Bilinearform  zwei Vektoren aus V einen Skalar aus K zuordnet. Nun habe ich V als Matrix, keinen Vektor. Ich habe aber aus der Matrix einen Vektor gemacht. Ist das zulässig in diesem Fall? Besser habe ich es nicht hinbekommen

$$Sei\quad V\quad der\quad Vektorraum\quad der\quad symmetrischen\quad Matrizen\quad in\quad { M }_{ 22 }(R).\\ Sei\quad q\quad :\quad V\quad \rightarrow \quad R\quad definiert\quad durch\quad q(A)\quad =\quad det(A)\quad für\quad alle\quad A\quad \in \quad { M }_{ 22 }(R).\\ \\ \\ (1)\quad Beweisen\quad Sie\quad dass\quad q\quad eine\quad quadratische\quad Form\quad auf\quad V\quad ist.\\ (2)\quad Sei\quad \beta \quad die\quad zu\quad q\quad gehörende\quad Bilinearform\quad auif\quad V.\quad Untersuchen\quad Sie,\\ ob\quad \beta \quad positiv\quad definit,\quad pos.\quad semidefintit\quad oder\quad indefinit\quad ist.\\ (3)\quad Sei\quad W\quad =\quad \left\{ A\quad \in \quad V\quad |\quad Spur(A)\quad =\quad 0 \right\} .\quad Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad W\quad ein\quad Unterraum\quad \\ von\quad V\quad ist.\\ (4)\quad Sei\quad { \beta }_{ W }\quad die\quad Einschränkung\quad von\quad \beta \quad auf\quad W,\quad also\quad \beta \quad :\quad W\quad \times \quad W\quad \rightarrow \quad V\\ definiert\quad durch\quad \beta _{ W }(A\quad ,\quad B)\quad =\quad \beta (A\quad ,\quad B)\quad für\quad alle\quad A,B\quad \in \quad W.\\ Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad \beta _{ W }(A\quad ,\quad A)\quad <\quad 0\quad ist\quad für\quad alle\quad A\quad \in \quad W\quad ,\quad A\quad \neq \quad 0.$$

$$\\ (1)\\ q(A)\quad =\quad det(A)\quad =\quad det \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 2 } & { x }_{ 3 } \end{pmatrix} \quad =\quad { x }_{ 1 }{ x }_{ 3 }\quad -\quad x_{ 2 }²\\ \\ Sei\quad A\quad =\quad \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{pmatrix} .\\ { A }^{ T }(S)A\quad =\quad ({ x }_{ 1 }\quad ,\quad { x }_{ 2 },\quad { x }_{ 3 })\quad \begin{pmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 21 } & { a }_{ 31 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 32 } \\ { a }_{ 31 } & a_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{pmatrix} \\ \\ S\quad =\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac { 1 }{ 2 } & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \\ S\quad ist\quad symmetrisch,\quad also\quad ist\quad q\quad eine\quad quadratische\quad Form,\quad denn\\ { x }_{ 1 }{ x }_{ 3 }\quad -\quad x_{ 2 }²\quad =\quad { A }^{ T }SA\quad =\quad \quad \beta (A\quad ,\quad A)\quad =\quad q(A).$$

$$(2)\\ \\ \\ \beta \quad ist\quad positiv\quad definit,\quad wenn\quad { x }_{ 1 }\quad >\quad 0\quad und\quad { x }_{ 3 }\quad >\quad \frac { { x }_{ 2 }² }{ { x }_{ 1 } } \quad ,\\ positiv\quad semidefinitit,\quad wenn\quad { x }_{ 1 }\quad >\quad 0\quad und\quad { x }_{ 3 }\quad \ge \quad \frac { { x }_{ 2 }² }{ { x }_{ 1 } } \quad ,\\ \\ indefinit,\quad wenn\quad { x }_{ 1 }{ x }_{ 3 }\quad -\quad x_{ 2 }²\quad <\quad 0$$

$$(3)\\ \\ \\ Spur(A)\quad =\quad 0\\ \\ A\quad =\quad \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \\ \\ Für\quad a\quad =\quad b\quad =\quad 0\quad ist\quad Spur \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad =\quad \quad 0\quad =\quad { Spur \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }^{ T }\quad \quad \in \quad W\\ \\ Spur(A\quad +\quad B)\quad =\quad Spur\quad \begin{pmatrix} a\quad +\quad a' & b\quad +\quad b' \\ b\quad +\quad b' & -a\quad -\quad a' \end{pmatrix} \quad =\quad a\quad +\quad a'\quad -\quad a\quad -\quad a'\quad \\ \\ =\quad 0\quad =\quad \left( a\quad +\quad a' \right) -\left( a\quad +\quad a' \right) \quad =\quad Spur\quad \begin{pmatrix} a\quad & b \\ b & -a \end{pmatrix} \quad +\quad Spur\quad \left( \begin{pmatrix} a'\quad & b' \\ b' & -a' \end{pmatrix} \right) \quad \\ =\quad Spur\quad { \begin{pmatrix} a\quad & b \\ b & -a \end{pmatrix} }^{ T }\quad +\quad Spur\quad { \begin{pmatrix} a'\quad & b' \\ b' & -a' \end{pmatrix} }^{ T }\quad =\quad =\quad Spur(A)^{ T }\quad +\quad Spur(B)^{ T }\quad \in \quad W\\ \\ Spur(\alpha A)\quad =\quad Spur\begin{pmatrix} \alpha a & \alpha b \\ \alpha b & -\alpha a \end{pmatrix} \quad =\quad \alpha a\quad -\quad \alpha a\quad =\quad 0\quad =\quad \alpha (a)\quad +\quad \alpha (-a)\quad =\quad \alpha \quad Spur \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \\ =\quad \alpha \quad Spur{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} }^{ T }\quad \in \quad W$$


$$(4)\\ \\ \\ \beta _{ W }(A\quad ,\quad B)\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( det \begin{pmatrix} { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 } & { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 } \\ { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 } & { -x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 } \end{pmatrix}\quad -\quad det \begin{pmatrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 2 } & { -x }_{ 1 } \end{pmatrix} \quad -\quad det\begin{pmatrix} { y }_{ 1 } & { y }_{ 2 } \\ { y }_{ 2 } & { -y }_{ 1 } \end{pmatrix} \right) \\ \\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 } \right) \left( { -x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 } \right) -\left( { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 } \right) ²\quad -\quad \left( -{ x }_{ 1 }²\quad -\quad { x }_{ 2 }² \right) \quad -\quad \left( -{ y }_{ 1 }²\quad -\quad { y }_{ 2 }² \right) \\ \\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( \left( -{ x }_{ 1 }²\quad -\quad 2{ x }_{ 1 }{ y }_{ 1 }\quad -\quad { y }_{ 1 }² \right) -\quad \left( { x }_{ 2 }²\quad +\quad 2{ x }_{ 2 }{ y }_{ 2 }\quad +\quad { y }_{ 2 }² \right) \quad -\quad \left( -{ x }_{ 1 }²\quad -\quad { x }_{ 2 }² \right) \quad -\quad \left( -{ y }_{ 1 }²\quad -\quad { y }_{ 2 }² \right) \right) \\ \\ =\quad -\quad { x }_{ 1 }{ y }_{ 1 }\quad -\quad { x }_{ 2 }{ y }_{ 2 }\quad \\ \\ \beta _{ W }(A\quad ,\quad A)\quad =\quad -\quad { x }_{ 1 }{ x }_{ 1 }\quad -\quad { x }_{ 2 }x_{ 2 }\quad =\quad -\quad { x }_{ 1 }²\quad -\quad { x }_{ 2 }²\\ \\ \sum _{ i=1 }^{ 2 }{ -({ x }_{ i }²) } \quad \quad <\quad 0\quad für\quad alle\quad A,\quad wenn\quad gilt\quad A\quad \neq \quad 0.$$

Comments

ich könnte noch ergänzen dass sich die Determinante einer symmetrischen 2x2 Matrix durch einen Vektor aus R³ beschreiben lässt und den dann anders benennen? oder ist das der falsche weg?

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Also die Idee, von der Matrix $a_1\ a_2\choose a_2\ a_3$ nach Wahl der Basis $\left\{{1\ 0\choose0\ 0},{0\ 1\choose 1\ 0},{0\ 0\choose0\ 1}\right\}$ zum Koordinatenvektor $(a_1,a_2,a_3)^\top$ ueberzugehen, ist prinzipiell gut. Fuer Teil (1) wuesste man gerne, wie ihr eine qudratische Form definiert habt. Vielleicht so? https://de.wikiversity.org/wiki/Quadratische_Form/Modul/Definition

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Eine Abbildung q : V → K wird eine quadratische Form auf V gennant, wenn es eine symmetrische Bilinearform β auf V gibt, so dass q(v) = β(v,v) für alle v ∈ V.

oder:
q ist quadratische Form ⇔ Es gibt eine symmetrische Bilinearform β mit β(v,v)= q(v) ⇔ Es gibt eine symmetrische Matrix A mit v^TAv = β(v,v) für alle v ∈ V

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und das quadratische Polynom das zu der symmetrischen Matrix A gehört ist: q(v) = ∑(i=1 bis n) ( a_ii v_i² ) + 2 ∑(i<j) ( a_ij v_i v_j )

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Wenn Du die zweite Erklaerung benutzen willst, bleibt Dir nichts anderes uebrig, als die symmetrischen Matrizen aus $M_{22}(\mathbb{R})$ mit dem $\mathbb{R}^3$ zu identifizieren. Das ergibt dann sinngemaess Deinen Lösungweg.

Ansonsten muesstest Du die Bilinearform $\beta(A,B)$ angeben (und nachweisen, dass es eine ist), für die $q(A)=\beta(A,A)$ gilt.