Zeigen, dass die Spur zweier bestimmter Matrizen 0 ergibt.

Question

Sei A = (a_ij)_i,j ∈ R^p×p eine Matrix über einem kommutativen Ring R. Die Spur tr(A) einer Matrix ist definiert als die Summe der Diagonaleinträge, d.h. tr(A) := ∑^p_i=1 a_ii. Die transponierte Matrix A^T von A ist als A^T_i,j = A_i,j definiert. Außerdem gilt tr(A^T) = tr(A) und tr(A·B) = tr(B·A).

Zeigen Sie: Sei char(R) ≠ 2. Für Matrizen A,B ∈ R^p×p mit A^T = A und B^T = -B gilt tr(A·B) = 0.

Teils sind das Zusatzinformationen, die man nicht alle zum Lösen der Aufgabe braucht, nur versteh ich ehrlichgesagt auch nicht was mir von all dem helfen kann. Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Lg Laura

Answer 1

unter Verwendung oben genannter Identitäten sowie Voraussetzungen gilt$$\operatorname{tr}(A\cdot B)=\operatorname{tr}\big((A\cdot B)^\top\big)=\operatorname{tr}(B^\top\cdot A^\top)=\operatorname{tr}(-B\cdot A)=-\operatorname{tr}(A\cdot B).$$Wenn nun \(\operatorname{char}(R)\ne2\) ist, dann muss \(\operatorname{tr}(A\cdot B)=0\) sein.

MfG

Comments

Wow, ja stimmt. Danke dir <3 !