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Sei A = (aij)i,j ∈ Rp×p eine Matrix über einem kommutativen Ring R. Die Spur tr(A) einer Matrix ist definiert als die Summe der Diagonaleinträge, d.h. tr(A) := ∑pi=1 aii. Die transponierte Matrix AT von A ist als ATi,j = Ai,j definiert. Außerdem gilt tr(AT) = tr(A) und tr(A·B) = tr(B·A).

Zeigen Sie: Sei char(R) ≠ 2. Für Matrizen A,B ∈ Rp×p mit AT = A und BT = -B gilt tr(A·B) = 0.


Teils sind das Zusatzinformationen, die man nicht alle zum Lösen der Aufgabe braucht, nur versteh ich ehrlichgesagt auch nicht was mir von all dem helfen kann. Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Lg Laura

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unter Verwendung oben genannter Identitäten sowie Voraussetzungen gilttr(AB)=tr((AB))=tr(BA)=tr(BA)=tr(AB).\operatorname{tr}(A\cdot B)=\operatorname{tr}\big((A\cdot B)^\top\big)=\operatorname{tr}(B^\top\cdot A^\top)=\operatorname{tr}(-B\cdot A)=-\operatorname{tr}(A\cdot B).Wenn nun char(R)2\operatorname{char}(R)\ne2 ist, dann muss tr(AB)=0\operatorname{tr}(A\cdot B)=0 sein.

MfG

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Wow, ja stimmt. Danke dir <3 !

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