Eier von Kaiserpinguinen Gewichte unter Normalverteilungsannahme

Question

(a) Eier von Kaiserpinguinen wiegen durchschnittliche 451 Gramm. 10% wiegen mehr als 470 Gramm. Welcher Prozentanteil wiegt zwischen 438,5 und 463,5 Gramm (unter Normalverteilungsannahme)?

(b) Die zufällige Lebensdauer X von Geräten, die Verschleiß unterliegen, kann durch eine Weilbull-Verteilung mit der Dichte

f(x) = (b/a)*(x/a)^{b-1}*e^{(-x/a)^b} * I_(0,∞)(x)

EDIT: Leerschlag nach ^ eingefügt.

(a,b >0) angegeben werden. Es ist bekannt, dass nach 300 Stunden Betriebsdauer 95% der Geräte ausgefallen sind. Bestimmt den Maßstabsparameter a in Abhängigkeit von Formparameter b.

(c) X sei normalverteilt mit Parameter (μ,σ^2). Welche Verteilung hat die Zufallsvariable Y= aX+b (a,b ∈ ℝ)?

(d) Bestimme die Verteilungsfunktion und Dichte der Zufallsvariablen Y = e^x für X ist Exp(λ) verteilt. Welche Verteilung ergibt sich?

Comments

Hallo tonilein,

du hast oben einen Caret-Konflikt. Soll der Term so aussehen 

f(x) = (b/a)*(x/a)^b-1*e^-((x/a)b)*I_0,∞(x)   ? 

Klammern im Exponenten werden im Editor automatisch nicht richtig umgewandelt. Umwandlung vermeiden kannst du mit einem Abstand (musst du doppelt eingeben!) nach dem ^  .

Vielleicht ist es ja auch so gemeint:

f(x) = (b/a)*(x/a)^b-1*e^ (((-(x/a)b)*I_0,∞(x) )

oder doch so

f(x) = (b/a)*(x/a)^b-1*e^ ((-(x/a)b)*I_0,∞(x) 

---

Hallo Lu,

es soll e hoch -(x/a) hoch b dort stehen. Leider habe ich es nicht geschafft das richtig im Editor darzustellen.

---

Nicht erschrecken! Ich habe das mal gemeldet: Vielleicht bringt das der admin richtig hin (?) .

---

Ich habe jetzt mal den Leerschlag eingefügt. I_... soll ja nicht im Exponenten sein. Oder?

---

Genau! I_... soll nicht im Exponent sein.

---

Kann mir jemand bitte bei den Aufgaben helfen?

---

Ist es möglich, dass bei (a) 60% das Ergebnis ist?

---

Ist bis auf die dritte Stelle nach dem Komma richtig.

---

Habe das mal wie gewünscht hochgestellt.

Als Tipp: Einen Teil mittels des Buttons "x²" hochstellen und dann den anderen Teil über "^" automatisch hochstellen lassen ;). Hier habe ich bspw (-x/a) mittels "x²" hoch gestellt und das ^b angehängt.

Answer 1

Zu (a)

Bestimme die Streuung der Normalverteilung aus der Gleichung $$ 1 - \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma } \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{s-\mu}{\sigma}\right)^2} ds = 0.1  $$ bzw. bestimme das 90% Quantil zu 470. Mit diesem \( \sigma \) kannst Du dann die Aufgabe lösen.

Zu (b)

Die Verteilungsfunktion der Weibulldichte lautet $$ F(x) = 1 - e^{\left(\frac{x}{a}\right)^b} $$ s. https://de.wikipedia.org/wiki/Weibull-Verteilung

Bestimme jetzt \( a \) aus der Gleichung $$  F(300) = 0.95 $$

Zu (c) s.

http://www.mathepedia.de/Erwartungswert.aspx und

http://www.mathepedia.de/Varianz.aspx

zu (d) s. http://statistik.econ.kit.edu/download/doc_secure1/lsg-1-27.pdf

Comments

Hallo ullim,

vielen Dank für deine Antwort.

Zu (a): Beträgt die Standardabweichung 14,82 und P(438,5 < X < 463,5) = 0,6?

Zu (b): Könntest du mir vielleicht noch ein paar Tipps geben, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll?

Zu (c): Gilt hier die Linearität des Erwartungswertes? Wie kann man beweisen, welche Verteilung Y hat?

Zu (d): Ist es die Exponentialverteilung? Wie beweise ich das?

---

Zu (a) Ja, ist ok.

Zu (b) Berechne die Verteilungsfunktion indem Du die Subsitution \( s = \frac{x}{a} \) machst und das Integral \( F(x) = \int_0^x f(s) ds \) berechnest, mit \( f(s) \) ist die Weibulldichte

Zu (c) Wende den Transformationssatz für Dichten an.

ZU (d) Siehe den Link Aufgabe 1 (b)

---

Tipp zu (d)

Aus dem Beispiel kannst Du nur die Systematik entnehmen. Ansonsten wende auch hier die Transformationsformel für Dichten an.

---

Vielen Dank für die Tipps für (a) und (b). Die Aufgaben habe ich nun geschafft.

Könntest du mir bei (c) und (d) noch ein paar Ansätze mit Rechnungen und Formeln geben?

---

Was verstehst Du bei den angegebenen Links nicht?