Fixpunkt kontrahierend: Zeigen, dass Funktion für entsprechend kleine k einen Fixpunkt hat, f(x,y)=(kcos(x+y),ksin(x-y))

Question

Ich muss zeigen, dass eine Funktion für entsprechend kleine k einen Fixpunkt hat.

f(x,y) = (k cos(x+y), k sin(x-y))

Fixpunktsatz von Banach: Eine Funktion hat genau dann einen Fixpunkt, wenn sie kontrahierend ist.

Also muss mit 0≤c<1 gelten:

d ( f(x,y), f(a,b)) ≤ c d( (x,y), (a,b) )

==> d ( f(x,y), f(a,b)) = d( (k cos(x+y), k sin(x-y)) , (k cos(a+b), k sin(a-b)) ) =k d( (cos(x+y), sin(x-y)), (cos(a+b), sin(a-b)) )

Hier muss man wohl irgendwie abschätzen, indem man verwendet, dass sin(x) und cos(x) beschränkt ist, aber keine Ahnung, wie genau.

Answer 1

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Fixpunkt kontrahierend: Zeigen, dass Funktion für entsprechend kleine k einen Fixpunkt hat

Um zu zeigen, dass die Funktion \(f(x,y) = (k \cos(x+y), k \sin(x-y))\) für entsprechend kleine \(k\) einen Fixpunkt hat, müssen wir gemäß dem Fixpunktsatz von Banach prüfen, ob \(f\) eine kontrahierende Abbildung ist. Das heißt, wir müssen zeigen, dass ein Kontraktionsfaktor \(0 \leq c < 1\) existiert, sodass für alle \((x,y)\) und \((a,b)\) in unserem Definitionsraum gilt:

\(d(f(x,y), f(a,b)) \leq c \cdot d((x,y), (a,b))\)

wobei \(d\) eine geeignete Metrik ist, in diesem Fall die euklidische Distanz.

Zunächst bestimmen wir den Ausdruck für \(d(f(x,y), f(a,b))\):

\(d(f(x,y), f(a,b)) = d((k \cos(x+y), k \sin(x-y)), (k \cos(a+b), k \sin(a-b)))\)

Dies vereinfacht sich zu:

\(= \sqrt{(k \cos(x+y) - k \cos(a+b))^2 + (k \sin(x-y) - k \sin(a-b))^2}\)

Da \(\cos\) und \(\sin\) beschränkte Funktionen mit einem Maximalwert von \(1\) sind, können wir abschätzen, dass der maximale Unterschied zwischen zwei Werten von \(\cos\) oder \(\sin\) auch höchstens \(2\) beträgt, weil:
\(|\cos(\phi) - \cos(\theta)| \leq 2\)
\(|\sin(\phi) - \sin(\theta)| \leq 2\)

Dies ergibt:

\(d(f(x,y), f(a,b)) \leq \sqrt{(2k)^2 + (2k)^2} = \sqrt{8k^2} = 2k\sqrt{2}\)

Nun betrachten wir \(d((x,y), (a,b))\):

\(d((x,y), (a,b)) = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}\)

Für unsere Ungleichung suchen wir nun ein \(c\) derart, dass:

\(2k\sqrt{2} \leq c \cdot \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}\)

Um dies als Kontraktion zu interpretieren, sehen wir, dass wenn \(k\) klein genug ist, insbesondere kleiner als \(\frac{c}{\sqrt{2}}\) für ein \(c < 1\), dann wird \(2k\sqrt{2}\) kleiner sein als \(c \cdot d((x,y), (a,b))\), da \(d((x,y), (a,b))\) alle positiven Werte annehmen kann, einschließlich Werte nahe \(0\). Wichtig ist, dass \(k\) so gewählt werden muss, dass für alle möglichen Distanzen zwischen \((x,y)\) und \((a,b)\), die Ungleichung:

\(2k\sqrt{2} \leq c \cdot d((x,y), (a,b))\)

erfüllt ist, was insbesondere bedeutet, dass \(k < \frac{c}{2\sqrt{2}}\) für \(c < 1\) sein muss. Dies zeigt, dass für entsprechend kleine \(k\), unsere Funktion \(f\) kontrahierend ist, und damit nach dem Banachschen Fixpunktsatz einen Fixpunkt besitzt.