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Ich brauche Hilfe bei dieser Vollständigen Indunktion:

$$\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ kln(\frac { k+1 }{ k } ) } =nln(n)-ln(n!)\quad \quad n\ge 2$$

Beim Induktionsschluss bin ich so weit gekommen:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ kln(\frac { k+1 }{ k } ) } =(n+1)ln(n+1)-ln((n+1)!)$$

$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ kln(\frac { k+1 }{ k } ) } =\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ kln(\frac { k+1 }{ k } ) } +(k+1)ln(\frac { k+2 }{ k+1 } )$$

$$=nln(n)-ln(n!)+(n+1)ln(\frac { n+2 }{ n+1 } )$$

$$=nln(n)-ln(n!)+(n+1)ln(n+2)-ln(n+1)$$

Kann mir jemand sagen ob ich richtig gerechnet habe bis dahin?Wenn ja, was muss ich als nächstes machen?

Danke

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Bei der letzten Summe heißt es

Summe k=1 bis n-1 über k*ln((k+1)/k) + n* ln ( (n+1) / n )

denn du musst ja beim letzten Summanden n für k einsetzen

dann so

= n*ln(n) - ln(n!) + n * ( ln(n+1) - ln (n) )

= n*ln(n) - ln(n!) + n *  ln(n+1) -  n * ln (n)

=  - ln(n!) + n *  ln(n+1)

=  n *  ln(n+1)    -   ln(n!)

= n *ln(n+1) + ln(n+1)  - ln(n+1)    -   ln(n!)
Das rote ist = 0, kann man also dazunehmen!
Dann ln(n+1) bei den ersten beiden ausklammern
und die hinteren beiden zu einem ln zusammenfassen.

=  (n+1)*ln(n+1)  - ln ( (n+1) ! )

q.e.d.
von 152 k

Ich habe ein allgemeines verständnisproblem.

In deiner Zeile in der die Summe steht wird der 2. summand nicht um n+1 erhöht. ich verstehe nicht wann ich n um 1 erhöhen soll und wann nicht. bei anderen aufgaben war das anders. wovon ist das abhängig?

Wenn in der Aufgabe selbst die Summe bis n geht, geht es im Induktionsbeweis

bis n+1.

Wenn es aber in der Aufgabe wie hier nur bis n-1 geht, geht es im

Ind.bew. bis n.

Bei dem Ind.Schluss geht es immer um einen weiter als bei der

gegebenen Form.

Danke für deine Antwort.Habs denk ich verstanden.
Noch eine sache ist mir nicht klar:
ln(n+1) - ln(n!)   wie werden die beiden zusammengefasst?

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