Gammafunktion von 1/2 ist gleich Wurzel pi

Question

Aufgabe:

Die Gammafunktion ist definiert durch
$$ \Gamma(t)=\int \limits_{0}^{\infty} x^{t-1} e^{-x} d x $$
Zeigen Sie:
$$ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} $$

Answer 1

gamma(1/2)=

 integral (0 bis ∞) x^{-1/2} *e^{-x}dx

Substituiere x=y^2 ---> y=x^{1/2}

dx= 2y dy

Damit gamma(1/2)=

Integral (0 bis ∞) 1/y e^{-y^2} 2y dy

= integral (0 bis ∞) 2e^{-y^2}dy

=integral (-∞ bis ∞) e^{-y^2}dy

aufgrund der Achsensymmetrie der Gaußfunktion

= √π 

Wert des Gaußintegrals.