Berechne Höhen und Tiefenwinkel!

Question

Von der 676m über dem Meeresspiegel liegenden Willhelmswarte am Anninger (A) sieht man die Haltestellen Pfaffstätten (P), Gumpoldskirchen (K) und Guntramsdorf (G) der in diesem Abschnitt gerdlinig verlaufenden Südbahnstrecke. Die Meereshöhe der drei Haltestellen beträgt jeweils 250Meter.

Frage:
Berechnen Sie, wie weit die Haltestellen Pfaffstätten und Gumpoldskirchen entfernt sind, wenn man von der Willhelmswarte aus die Haltestelle Pfaffstätten unter dem Tiefenwinkel 6,6°, und nach Schwenken des Fernrohrs um den Horizontalwinkel 65,4° die Haltestelle Gumpoldskirchen unter dem Tiefenwinkel 7,8° sieht! Um welchen Horizontalwinkel muss man das Fernrohr weiter schwenken, um die von Gumpoldskirchen 1,5km entfernte Haltestelle Guntramsdorf zu sehen? Unter welchem Tiefen Winklel sieht man Guntramsdorf?

Answer 1

Hi

Hier zunächst die Skizze. Der Beobachtungspunkt liegt bei A. L ist der Lotfußpunkt von A auf die xy-Ebene. Die Gerade durch P und K liegt ebenfalls in der xy-Ebene.

Zur Rechnung:

a1 = 6,6°; a2 = 7,8°; b2 = 65,4°;

H = 676 m -250 m = 426 m; g1 = 1500 m;

 

Bestimmung der Entfernung d1:

d1 = H / tan(a1) = 426m / tan(6,6°) ≈ 3681,810 m;

 

Bestimmung der Entfernung d2:

d2 = H / tan(a2) = 426m / tan(7,8°) ≈ 3109,876 m;

 

Seite g2 bestimmen (Kosinussatz):

g2^2 = d1^2 +d2^2 -2*d1*d2*cos(b2);

g2 = sqrt(d1^2 +d2^2 -2*d1*d2*cos(b2); | nur positive Lösung sinnvoll

g2 = sqrt{ (3681,810 m)^2 +(3109,876 m)^2 -2*3681,810 *3109,876*cos(65,4°) m^2 } ≈ 3700,574 m;

 

Winkel c2 bestimmen (Sinussatz):

sin(b2) / g2 = sin(c2) / d1;

c2 = arcsin(  sin(b2)*  d1 / g2  );

c2 = arcsin(  sin(65,4°)  3681,810 / 3700,574  ) ≈ 64,773°;

 

Winkel c1 bestimmen (Nebenwinkel):

c1 = 180° - c2 ≈ 115,227°;

 

Im Dreieck LKG sind d2 und c1 und g1 bekannt, d3 lässt sich jetzt berechnen (Kosinussatz):

d3 = sqrt{  d2^2 + g1^2 -2*d2*g1*cos(c1)  } ≈ 3987,189 m; | nur positive Lösung sinnvoll

 

Winkel b1 berechnen, das ist auch der gesuchte Schwenkwinkel (Sinussatz):

sin(b1) / g1 = sin(c1) / d3;

b1 = arcsin(  sin(c1)  g1 / d3  ) ≈ 19,897°;

 

Rechtwinkliges Dreieck ALG, d3 ist bekannt ebenso H, a3 kann also berechnet werden mit:

a3 = arctan(  H / d3 ) ≈ 6,098°;

 

Antwort:

Der Schwenkwinkel beträgt 19,9°, der Tiefenwinkel unterdem das Dorf G beobachtet werden kann beträgt 6,1°.

 

Hab's zweimal durchgerechnet. Falls dennoch Fehler drin sind oder etwas unklar ist --> Kommentar.

lg JR